mọi người giúp đỡ giải bài này:
xác định trường nghiệm F của đa thức x^{3}- 5 \in Q[x] và tìm bậc của F trên Q.
không hiểu việc sử dụng căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.. mọi người giải đáp giúp với.
mọi người giúp đỡ giải bài này:
xác định trường nghiệm F của đa thức x^{3}- 5 \in Q[x] và tìm bậc của F trên Q.
không hiểu việc sử dụng căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.. mọi người giải đáp giúp với.
Bạn giải nghiệm của đa thức ra, được $F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2})$
Ta có đa thức tối tiểu của $\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}$ là $x^2+x+1$
đa thức tối tiểu của $\sqrt[3]{5}$ là $x^3-5$
Áp dụng quy tắc tháp, ta có;
$\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q} \right ]=\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \right ]\left [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q} \right ]=6$
một cách giải như sau:
đặt $f\left ( x \right ) = x^{3}- 5\in Q\left [ x \right ]$ có 3 nghiệm là $\sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5}$ , trong đó $\xi$ là căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.
Do đó
$F= Q\left ( \sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5} \right )= Q\left ( \sqrt[3]{5},\xi \right )$
$\left [ F:Q \right ] = \left [ F:Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) \right ]. \left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) :Q\right ]$
đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{5}$ trên Q là $x^{3} -5 \in Q\left [ x \right ]$. Do đó:
$\left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ):Q \right ]= 3$
$Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) = \left \{ a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{5^{2}} | a, b, c \in Q\right \}$
đa thức $g\left ( x \right )= x^{2}+x+1 \in Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\left [ x \right ]$ có 2 nghiệm là $\xi , \xi ^{2}\notin Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$ , suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức bất khả qui trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$
suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức tối thiểu của $\xi$ trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$
do đó $\left [ \left (Q \sqrt[3]{5} \right )\left ( \xi \right ) :Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\right ]= 2$
Suy ra $\left [ F:Q \right ]=2.3=6$
một cách giải như sau:
đặt $f\left ( x \right ) = x^{3}- 5\in Q\left [ x \right ]$ có 3 nghiệm là $\sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5}$ , trong đó $\xi$ là căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.
Do đó
$F= Q\left ( \sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5} \right )= Q\left ( \sqrt[3]{5},\xi \right )$
$\left [ F:Q \right ] = \left [ F:Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) \right ]. \left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) :Q\right ]$
đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{5}$ trên Q là $x^{3} -5 \in Q\left [ x \right ]$. Do đó:
$\left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ):Q \right ]= 3$
$Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) = \left \{ a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{5^{2}} | a, b, c \in Q\right \}$
đa thức $g\left ( x \right )= x^{2}+x+1 \in Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\left [ x \right ]$ có 2 nghiệm là $\xi , \xi ^{2}\notin Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$ , suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức bất khả qui trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$
suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức tối thiểu của $\xi$ trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$
do đó $\left [ \left (Q \sqrt[3]{5} \right )\left ( \xi \right ) :Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\right ]= 2$
Suy ra $\left [ F:Q \right ]=2.3=6
nhưng trong cách giải này có khái niệm căn nguyên thuỷ của đơn vị, mình không hiểu khái niệm này, mọi người giúp đỡ
Căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị là $e^{i\frac{2k\pi}{3}}$ th bạn, chúng là nghiệm của phương trình $x^3-1=0$, vậy thì nghiệm của phương trình sẽ có dạng $\sqrt[3]{5}e^{i\frac{2k\pi}{3}},k=1,2,3...$
Căn bậc n của đơn vị là các giá trị $x_{k} = cos\frac{2k\pi }{n} + isin \frac{2k\pi }{n}$ với k = 0, 1, 2, ..., n - 1 (có tất cả n giá trị) (chúng thỏa mãn $x_{k}^{n} = cos2k\pi + isin2k\pi = 1$)
Đặt $x_{k} = e^{i.\frac{2k\pi }{n}}$
Căn nguyên thủy bậc n của đơn vị là các số $\xi$ sao cho $\xi^{n} = 1$ (là căn bậc n của đơn vị) sao cho tập hợp $\left \{ \xi , \xi ^{2}, ..., \xi ^{n} \right \}$ có đúng n phần tử hay tập hợp này là tất cả các căn bậc n của 1.
Định lý : Nếu UCLN (k, n) = 1 thì $x_{k}$ là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-04-2014 - 19:34
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh