Đến nội dung

Hình ảnh

căn nguyên thuỷ bậc n của đơn vị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
narutouzumaki

narutouzumaki

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

mọi người giúp đỡ giải bài này:

xác định trường nghiệm F của đa thức x^{3}- 5 \in Q[x] và tìm bậc của F trên Q.

không hiểu việc sử dụng căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.. mọi người giải đáp giúp với.



#2
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bạn giải nghiệm của đa thức ra, được $F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2})$

Ta có đa thức tối tiểu của $\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}$ là $x^2+x+1$

đa thức tối tiểu của $\sqrt[3]{5}$ là $x^3-5$

Áp dụng quy tắc tháp, ta có;

$\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q} \right ]=\left [ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5},\frac{-1}{2}+i \frac{\sqrt 3}{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}) \right ]\left [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}):\mathbb{Q}  \right ]=6$



#3
narutouzumaki

narutouzumaki

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

một cách giải như sau:

đặt $f\left ( x \right ) = x^{3}- 5\in Q\left [ x \right ]$ có 3 nghiệm là $\sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5}$ , trong đó $\xi$ là căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.

Do đó 

$F= Q\left ( \sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5} \right )= Q\left ( \sqrt[3]{5},\xi \right )$

$\left [ F:Q \right ] = \left [ F:Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) \right ]. \left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) :Q\right ]$

đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{5}$ trên Q là $x^{3} -5 \in Q\left [ x \right ]$. Do đó:

$\left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ):Q \right ]= 3$ 

$Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) = \left \{ a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{5^{2}} | a, b, c \in Q\right \}$

đa thức $g\left ( x \right )= x^{2}+x+1 \in Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\left [ x \right ]$ có 2 nghiệm là $\xi , \xi ^{2}\notin Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$ , suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức bất khả qui trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$

suy ra  $g\left ( x \right )$ là đa thức tối thiểu của $\xi$ trên  $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$

 do đó  $\left [ \left (Q \sqrt[3]{5} \right )\left ( \xi \right ) :Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\right ]= 2$

Suy ra $\left [ F:Q \right ]=2.3=6$



#4
narutouzumaki

narutouzumaki

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

một cách giải như sau:

đặt $f\left ( x \right ) = x^{3}- 5\in Q\left [ x \right ]$ có 3 nghiệm là $\sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5}$ , trong đó $\xi$ là căn nguyên thuỷ bậc 3 của đơn vị.

Do đó 

$F= Q\left ( \sqrt[3]{5}, \xi \sqrt[3]{5}, \xi ^{2}\sqrt[3]{5} \right )= Q\left ( \sqrt[3]{5},\xi \right )$

$\left [ F:Q \right ] = \left [ F:Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) \right ]. \left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) :Q\right ]$

đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{5}$ trên Q là $x^{3} -5 \in Q\left [ x \right ]$. Do đó:

$\left [ Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ):Q \right ]= 3$ 

$Q\left ( \sqrt[3]{5} \right ) = \left \{ a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{5^{2}} | a, b, c \in Q\right \}$

đa thức $g\left ( x \right )= x^{2}+x+1 \in Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\left [ x \right ]$ có 2 nghiệm là $\xi , \xi ^{2}\notin Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$ , suy ra $g\left ( x \right )$ là đa thức bất khả qui trên $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$

suy ra  $g\left ( x \right )$ là đa thức tối thiểu của $\xi$ trên  $Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )$

 do đó  $\left [ \left (Q \sqrt[3]{5} \right )\left ( \xi \right ) :Q\left ( \sqrt[3]{5} \right )\right ]= 2$

Suy ra $\left [ F:Q \right ]=2.3=6

nhưng trong cách giải này có khái niệm căn nguyên thuỷ của đơn vị, mình không hiểu  khái  niệm này, mọi người giúp đỡ



#5
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị là $e^{i\frac{2k\pi}{3}}$ th bạn, chúng là nghiệm của phương trình $x^3-1=0$, vậy thì nghiệm của phương trình sẽ có dạng $\sqrt[3]{5}e^{i\frac{2k\pi}{3}},k=1,2,3...$



#6
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Căn bậc n của đơn vị là các giá trị $x_{k} = cos\frac{2k\pi }{n} + isin \frac{2k\pi }{n}$ với k = 0, 1, 2, ..., n - 1 (có tất cả n giá trị) (chúng thỏa mãn $x_{k}^{n} = cos2k\pi + isin2k\pi = 1$)

Đặt $x_{k} = e^{i.\frac{2k\pi }{n}}$

 

Căn nguyên thủy bậc n của đơn vị là các số $\xi$ sao cho $\xi^{n} = 1$ (là căn bậc n của đơn vị) sao cho tập hợp $\left \{ \xi , \xi ^{2}, ..., \xi ^{n} \right \}$ có đúng n phần tử hay tập hợp này là tất cả các căn bậc n của 1.

 

Định lý : Nếu UCLN (k, n) = 1 thì $x_{k}$ là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-04-2014 - 19:34

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh