Chủ đề này có 1 trả lời

[Lee Sr]

Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn:
a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên 1 tuyến xe buýt nào đó;
b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng 1 bến xe chung;
c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất 3 bến xe;
Có 7 bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này

[chanhquocnghiem]

Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn:
a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên 1 tuyến xe buýt nào đó;
b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng 1 bến xe chung;
c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất 3 bến xe;
Có 7 bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này

Bổ sung đề bài cho rõ hơn : Số tuyến xe buýt không ít hơn $2$.

 

Giải theo cách THCS :

Ta có các điều kiện :

$1)$ Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên $1$ tuyến xe buýt nào đó (1)

$2)$ Hai tuyến xe buýt bất kỳ chỉ có đúng $1$ bến xe chung (2)

$3)$ Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất $3$ bến xe (3)

 

Vì số tuyến xe buýt không ít hơn $2$ và có tất cả $7$ bến xe nên từ điều kiện (2) suy ra số bến xe thuộc mỗi tuyến không quá $5$.

 

+ Giả sử mạng lưới xe buýt đó có một tuyến nối liền $5$ bến (gọi tuyến đó là $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$)

Do các điều kiện (2) và (3) nên tuyến thứ hai phải là $B_{1}B_{2}A_{m}$ ($1\leqslant m\leqslant 5$)

Do điều kiện (2) nên không thể có tuyến thứ ba.

Nhưng mạng xe buýt như vậy không thỏa mãn ĐK (1) vì không có tuyến nào nối liền các bến $B_{1}$ và $A_{n}$ ($1\leqslant n\leqslant 5$ và $n\neq m$).Vậy không thể có tuyến nào có đúng $5$ bến.

 

+ Giả sử mạng lưới xe buýt đó có một tuyến nối liền đúng $4$ bến (gọi tuyến đó là $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$).Có $2$ TH :

$a)$ Nếu tuyến thứ hai cũng có $4$ bến :

Khi đó do ĐK (2) nên tuyến thứ hai phải là $B_{1}B_{2}B_{3}A_{m}$ ($1\leqslant m\leqslant 4$)

Cũng do ĐK (2) nên không thể có tuyến thứ ba.

Nhưng mạng xe buýt này cũng không thỏa mãn ĐK (1) vì không có tuyến nào nối $B_{1}$ và $A_{n}$ ($1\leqslant n\leqslant 4$ và $n\neq m$)

$b)$ Nếu tuyến thứ hai có đúng $3$ bến :

Khi đó do ĐK (2) nên tuyến thứ hai phải là $B_{1}B_{2}A_{m}$ ($1\leqslant m\leqslant 4$)

Do ĐK (2) nên tuyến thứ ba phải là $CB_{i}A_{n}$ ($i\in \left \{ 1;2 \right \}$ ; $1\leqslant n\leqslant 4$ và $n\neq m$)

Và tuyến thứ tư phải là $CB_{j}A_{p}$ ($j\in \left \{ 1;2 \right \}$ ; $j\neq i$ ; $1\leqslant p\leqslant 4$ và $m;n;p$ đôi một khác nhau)

Và do ĐK (2) nên không thể có tuyến thứ năm.

Nhưng mạng xe buýt này cũng không thỏa mãn ĐK (1) vì không có tuyến nào nối các bến $C$ và $A_{m}$

Vậy không thể có tuyến nào có đúng $4$ bến.

 

$\Rightarrow$ tất cả các tuyến đều có đúng $3$ bến xe.

 

(Ví dụ $7$ bến xe là $A,B,C,D,E,F,G$, ta có $7$ tuyến : $AFB,BDC,CEA,AGD,BGE,CGF,DEF$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-12-2013 - 17:15