Chủ đề này có 7 trả lời

[donghaidhtt]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$

Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \dfrac{125}{64}$

[buitudong1998]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$

Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \dfrac{125}{64}$

Đổi biến theo p. q, r. 

$BDT\Leftrightarrow 1+\frac{9}{4}-2q+q^{2}-3r+r^{2}\geqslant \frac{125}{64}\Leftrightarrow (q-1)^{2}+(r-\frac{3}{2})^{2}\geqslant \frac{125}{64}$

Mà $q\leqslant \frac{3}{4};r\leqslant \frac{1}{8};BDT\Leftrightarrow (q-1)^{2}-\frac{1}{16}+(r-\frac{3}{2})^{2}-\frac{121}{64}\geqslant 0\Leftrightarrow (q-\frac{3}{4})(q-\frac{5}{4})+(r-\frac{1}{8})(r-\frac{23}{8})\geqslant 0$ (DPCM)

[songchiviuocmo2014]

Em làm cách này sai sót gì các anh chị cứ  bình luận nha . 

 

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$

Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \dfrac{125}{64}$

$1+(abc)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 \geq\dfrac{125}{64}\$
$1+\dfrac{1}{64}+\dfrac{(a^2 +b^2+c^2)^2}{3}+a^2 +b^2 +c^2\geq\dfrac{125}{64}\$

Đến đây em đánh giá nó là bđt luôn đúng qua bđt  $a^2 +b^2 +c^2\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi songchiviuocmo2014: 02-04-2014 - 11:24

[donghaidhtt]

Đổi biến theo p. q, r. 

 

Bài này là đề thi thử ĐH nên mình muốn tìm một cách giải đơn giản, ngoài cách này ra thì bạn có cách nào khác không vậy?

[hoangvtvpvn]

Đổi biến theo p, q, r thực ra là thay a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r thôi, cách giải của buitudong chưa sử dụng bất đẳng thức liên quan đến p, q, r theo schur nên không có gì khó hiểu đâu

[buitudong1998]

Bài này là đề thi thử ĐH nên mình muốn tìm một cách giải đơn giản, ngoài cách này ra thì bạn có cách nào khác không vậy?

Thực ra là mình thay a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r, nếu bạn không thích viết như vậy thì có thể viết như cũ cũng không sao

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$

Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \dfrac{125}{64}$

 

Xin đề xuất một cách khác có vẻ đơn giản hơn

 

Vì $a+b+c=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{125}{64}=\frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

 

BĐT bây giờ quy về dạng chứng minh

 

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

 

Và bài này ở đây

http://diendantoanho...q-frac516abc12/

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3}{2}$

Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \dfrac{125}{64}$

Mình xin đề xuất cách khác như sau, có vẻ giống với tiêu chí thi ĐH

Ta dự đoán luôn $a=b=c$ 

Khi đó $(1+a^2)(1+b^2)\geqslant \left [ 1+\frac{(a+b)^2}{4} \right ]^2$

 $\Leftrightarrow (a-b)^2\left [ 1-\frac{(a+b)^2+4ab}{8} \right ]\geqslant 0$

Dễ thấy bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng do $(a+b)^2+4ab \leqslant 2(a+b)^2 \leqslant 2(a+b+c)^2<8$

Do đó $P \geqslant \left [ 1+\frac{(a+b)^2}{4} \right ]^2(1+c^2)=\left [ 1+\frac{(\frac{3}{2}-c)^2}{4} \right ]^2(1+c^2)=f(c)$

Đến đây dùng đạo hàm ta có $f(c) \geqslant f(\frac{1}{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 03-04-2014 - 18:35