Chủ đề này có 8 trả lời

[hoctrocuaZel]

ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2013-2014

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (3đ)

a) Cho x=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.

Chứng minh x là nghiệm của p/t: $x^3+3x-14=0$

b) Giải PT sau: $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$

Câu 2:

a) Cho PT: $2x^2+(m-1)x-m-1=0$ (m tham số)

Tìm m để PT có 2 nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài).

b) Cho a,b,c là những số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

CMR: $(a-1)(b-1)(c-1))\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). AH là đường cao, AD là phân giác. Qua A kẻ đường vuông góc với AD cắt đường tròn đường kính AB và AC lần lượt tại M,N. Đường thẳng BN cắt AD tại P và cắt đường tròn đường kính thứ hai tại Q (khác N). CMR:

a) Tam giác NAC vuông cân và: MA.NC=MB.NA

b) P trung điểm AD.

c) góc PQD= góc PDH.

Câu 4: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho S(n).S(n+1)=87.

[lahantaithe99]

 

Câu 1: (3đ)

a) Cho x=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$.

Chứng minh x là nghiệm của p/t: $x^3+3x-14=0$

b) Giải PT sau: $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$

Câu 2:

 

b) Cho a,b,c là những số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

CMR: $(a-1)(b-1)(c-1))\leq \frac{1}{8}(a+1)(b+1)(c+1)$

 

Câu 1

 

a) Mũ $3$ lên ta thu đc

 

$x^3=14+3.\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})=14-3x\Rightarrow x^3+3x-14=0$

 

Do đó ta có đpcm

 

b)

 

ĐK $x\leqslant 1$

 

Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{x}{1+\sqrt{1-x}}.\sqrt[3]{2-x}=x$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ \sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x} & \end{bmatrix}$

 

Với $\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}$

 

Ta có BĐT $1+\sqrt{1-x} \geqslant \sqrt{1+1-x}=\sqrt{2-x}$

 

$\Rightarrow \sqrt[3]{2-x}\geqslant \sqrt{2-x}\Rightarrow 1\geqslant 2-x\Rightarrow x\geqslant 1$ 

suy ra $x=1$

 

Vậy $x=0;1$

 

Câu 2b

 

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow x+y+z=1$

 

BĐT cần chứng minh trở thành

 

$(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$

 

Áp dụng BĐT Cô si

 

$(x+y)+(x+z)\geqslant 2\sqrt{(x+y)(x+z)}$

 

Tương tự $(y+z)+(y+x)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(y+x)}$

 

$(z+x)+(z+y)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)}$

 

$\Rightarrow VP\geqslant 8\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}=8(x+y)(y+z)(x+z)=VT$

 

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 03-04-2014 - 18:30

[letankhang]

Câu 1

 

a) Mũ $3$ lên ta thu đc

 

$x^3=14+3.\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})=14-3x\Rightarrow x^3+3x-14=0$

 

Do đó ta có đpcm

 

b)

 

ĐK $x\leqslant 1$

 

Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{x}{1+\sqrt{1-x}}.\sqrt[3]{2-x}=x$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ \sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x} & \end{bmatrix}$

 

Với $\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}$

 

Ta có BĐT $1+\sqrt{1-x} \geqslant \sqrt{1+1-x}=\sqrt{2-x}$

 

$\Rightarrow \sqrt[3]{2-x}\geqslant \sqrt{2-x}\Rightarrow 1\geqslant 2-x\Rightarrow x\geqslant 1$ (vô lí)

 

Vậy $x=0$

 

$x\geq 1$ đâu phải là vô lí hết
Ta có điều kiện là $x\leq 1$
Nên $x=1$ thử lại cũng thỏa
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 03-04-2014 - 16:26

[letankhang]

ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2013-2014

Thời gian: 150 phút

 

Câu 2:

a) Cho PT: $2x^2+(m-1)x-m-1=0$ (m tham số)

Tìm m để PT có 2 nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là $\frac{4}{5}$ (đơn vị độ dài).

 

Ta có :
$\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S> 0 & \\ P> 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)^{2}+8(m+1)\geq 0 & \\ \frac{1-m}{2}> 0 & \\ \frac{-m-1}{2}> 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -1$
Mặt khác : $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^{2}}=\frac{5^{2}}{4^{2}}=\frac{25}{16}\Rightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{25}{16}$
Tới đây áp dụng định lí Viét thế $VT$ theo $m$ rồi giải phương trình thôi.

[Trang Luong]

Câu 4:

Gọi số $n$ có dạng $\overline{a_1a_2...a_k}$ với $k$ chữ số

$\Rightarrow S(n)=a_1+a_2+...+a_k$

Ta có : $n+1=\overline{a_1a_2...a_k}+1$

Vì $83=S(n).S(n+1)\Rightarrow \begin{bmatrix} S(n)=29\\ S(n)=3(L) \end{bmatrix}$

Với $S(n)=29\Rightarrow a_1+a_2+...+a_k=29$

Vì để $n$ nhỏ nhất thì trong $k$ chữ số có 3 số bằng 9 và là 3 chữ số cuối cùng của $n$

$\Rightarrow n=\overline{a_1a_2...a_{k-3}999}$$\Rightarrow a_1+a_2+...+a_{k-3}=2$

Ta xét các trường hợp:

Nếu $n$ có 4 chữ số $\Rightarrow n=2999$ đúng

Nếu $n$ có 5 chữ số $\Rightarrow n\epsilon \left \{ 20999;11999 \right \}$

.......

Vì $n$ nhỏ nhất nên $n=2999$

[lahantaithe99]

$x\geq 1$ đâu phải là vô lí hết
Ta có điều kiện là $x\leq 1$
Nên $x=1$ thử lại cũng thỏa
 

 chỗ đó chắc do mình vội k để ý nên sơ suất, cảm ơn bạn nhé 

[PT42]

Câu 1a)

Ta có $7 + 5\sqrt{2} = 1 + 3. 1^{2}.\sqrt{2} + 3. 1. 2 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{3}$

           $7 - 5\sqrt{2} = 1 - 3. 1^{2}.\sqrt{2} + 3. 1. 2 - 2\sqrt{2} = (1 - \sqrt{2})^{3}$

$\Rightarrow x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 2$

Phương trình $x^{3} + 3x - 14 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} + 2x + 7) = 0$

$\Rightarrow x = 2$ là nghiệm của phương trình $x^{3} + 3x - 14 = 0$

 

Câu 4

Ta có S(n). S(n + 1) = 87 = 3. 29

Nếu n có tận cùng khác 9 thì S(n + 1) = S(n) + 1 nên S(n). S(n + 1) = 87 là số chẵn (vô lý)

$\Rightarrow$ n có tận cùng bằng 9.

$\Rightarrow$ S(n) $\geq$ 9 và S(n) > S(n + 1).

Mà 3 và 29 là 2 số nguyên tố nên 87 chỉ có 2 cách phân tích thành tích của 2 số nguyên dương là 3. 29 và 1. 87

$\Rightarrow$ S(n + 1) = 1 hoặc 3

 

- Nếu S(n + 1) = 1 thì S(n ) = 87 và n + 1 = $\overline{10...0}$ $\Rightarrow n = \overline{9...9} \vdots 9$ $\Rightarrow S(n) = 87 \vdots 9$ vô lý

 

- Nếu S(n + 1) = 3 thì S(n) = 29

Giả sử n có k chữ số 9 ở tận cùng. Đặt n = $\overline{A9..9}$ với A có tận cùng khác 9.

$\Rightarrow n + 1 = \overline{(A + 1)0...0}$ và S(A + 1) = S(A) + 1

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S(n) = S(A) + 9k = 29\\S(n + 1) = S(A + 1) = S(A) + 1 = 3 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ S(n) - S(n + 1) = 9k - 1 = 26 $\Rightarrow$ k = 3

$\Rightarrow n = \overline{A999}$ với S(A) = 3 - 1 = 2

$\Rightarrow$ A có dạng $\overline{20...0}$ hoặc $\overline{10...010...0}$

Số nhỏ nhất trong các số này (số nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng 2) chính là 2.

$\Rightarrow$ Số n nhỏ nhất thỏa mãn bài là 2999.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 05-04-2014 - 09:22

[NamChung]

Ta có :
$\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S> 0 & \\ P> 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)^{2}+8(m+1)\geq 0 & \\ \frac{1-m}{2}> 0 & \\ \frac{-m-1}{2}> 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -1$
Mặt khác : $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^{2}}=\frac{5^{2}}{4^{2}}=\frac{25}{16}\Rightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{25}{16}$
Tới đây áp dụng định lí Viét thế $VT$ theo $m$ rồi giải phương trình thôi.

bạn ơi , đề nói là 2 cạnh của một tam giác vuông chứ không phải là 2 cạnh góc vuông đâu . Nếu làm như thế sẽ thiếu

[Bich Ngoc 2k1]

Câu 1

 

a) Mũ $3$ lên ta thu đc

 

$x^3=14+3.\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})=14-3x\Rightarrow x^3+3x-14=0$

 

Do đó ta có đpcm

 

b)

 

ĐK $x\leqslant 1$

 

Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{x}{1+\sqrt{1-x}}.\sqrt[3]{2-x}=x$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ \sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x} & \end{bmatrix}$

 

Với $\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}$

 

Ta có BĐT $1+\sqrt{1-x} \geqslant \sqrt{1+1-x}=\sqrt{2-x}$

 

$\Rightarrow \sqrt[3]{2-x}\geqslant \sqrt{2-x}\Rightarrow 1\geqslant 2-x\Rightarrow x\geqslant 1$ 

suy ra $x=1$

 

Vậy $x=0;1$

 

Câu 2b

 

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow x+y+z=1$

 

BĐT cần chứng minh trở thành

 

$(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$

 

Áp dụng BĐT Cô si

 

$(x+y)+(x+z)\geqslant 2\sqrt{(x+y)(x+z)}$

 

Tương tự $(y+z)+(y+x)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(y+x)}$

 

$(z+x)+(z+y)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)}$

 

$\Rightarrow VP\geqslant 8\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}=8(x+y)(y+z)(x+z)=VT$

 

Vậy ta có đpcm

sao lại chuyển đk thành $(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$

thế bạn