Chủ đề này có 1 trả lời

[mathandyou]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:$abc(a+b+c) +(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 04-04-2014 - 16:26

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:$abc(a+b+c) +(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}abc$

Áp dụng BĐT Cô si ta có

 

$abc(a+b+c)+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}+\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geqslant 4.\sqrt[4]{\frac{abc(a^2+b^2+c^2)^6(a+b+c)}{3^3}}$

 

Ta có $abc(a^2+b^2+c^2)^4(a+b+c)\geqslant abc.(3.\sqrt[3]{(abc)^2})^4(3.\sqrt[3]{abc})=3^5.(abc)^4$

 

Do đó

 

$abc(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{3^5(abc)^4(a^2+b^2+c^2)^2}{3^3}}=4\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(abc)$