Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuaZel]

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 & & \\ (1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-04-2014 - 21:08

[Trang Luong]

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 & & \\ (1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 & & \end{matrix}\right.$

Vì $x,y$ có vai trò như nhau. Giả sử $x\geq y$ và $xy\geq 0$

Nếu $x> y\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+x^7> 1+y^7\\ (1+x)(1+x^2)(1+x^4)> (1+y)(1+y^2)(1+y^4) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+x^7>1+y^7\\ 1+y^7>1+x^7 \end{matrix}\right.$ vô lý

nên $x=y\Rightarrow (1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7\Rightarrow x=0$

[buitudong1998]

Vì $x,y$ có vai trò như nhau. Giả sử $x\geq y$ và $xy\geq 0$

Nếu $x> y\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+x^7> 1+y^7\\ (1+x)(1+x^2)(1+x^4)> (1+y)(1+y^2)(1+y^4) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+x^7>1+y^7\\ 1+y^7>1+x^7 \end{matrix}\right.$ vô lý

nên $x=y\Rightarrow (1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7\Rightarrow x=0$

Không đúng

nếu x và y cùng âm thì khi x>y

$1+x^{7}>1+y^{7}$ nhưng không khẳng định được $(1+y)(1+y^{2})(1+y^{4})<(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$

[Trang Luong]

Không đúng

nếu x và y cùng âm thì khi x>y

$1+x^{7}>1+y^{7}$ nhưng không khẳng định được $(1+y)(1+y^{2})(1+y^{4})<(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$

Ta xét $x=y=0$ đúng

Với $xy\neq 0$

Trường hợp : $x,y> 0$ ta cm ở trên

Trường hợp $x,y< 0$. Giả sử $x\geq y$ đặt $x=ty\left ( t\geq 0 \right )$

Thay $x=ty$ vào HPT và cộng 2 PT mới lại với nhau

Ta được : $y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y+(ty)^6+(ty)^5+(ty)^4+(ty)^3+(ty)^2+ty=0\Leftrightarrow 0=y^6(t^6+1)+y^5\left ( t^5+1 \right )+y^4\left ( t^4+1 \right )+y^3\left ( t^3+1 \right )+y^2\left ( t^2+1 \right )+y(t+1)\geq y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y$ mà  $y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y\geq 0\Rightarrow y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow x=-1$

[Kaito Kuroba]

Giải hệ pt: 

$\left\{\begin{matrix}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7 & & \\ (1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 & & \end{matrix}\right.$

 

môt cách khác:

để ý, ta thấy vai trò của x và y đều như nhau.

từ hệ suy ra: $\left ( 1+x \right )(1+x^2)(1+x^4)+x^7+1=(1+y)(1+y^2)(1+y^4)+1+y^7$

xét hàm số: $f_{(t)}=(1+t)(1+t^2)(1+t^4)+1+t^7$ đồng biến.

 

==> $x=y$ OK!

$(x;y)=\left ( 0;0 \right );\left ( -1;-1 \right )$