Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$
Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$
Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$
Theo AM-GM: $\sqrt{(1+a^3)}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$
Tương tự: $\sqrt{1+b^3}\leq \frac{b^2+2}{2};\sqrt{1+c^3}\leq \frac{c^2+2}{2}$
BĐT cần CM: $\sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{1}{3}$
Biến đổi tương đương: $2\sum a^2+\sum a^2b^2\geq 72$
BĐT cuối đúng theo AM-GM: $2\sum a^2\geq 2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=24$
$\sum a^2b^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48$
Vậy BĐT được CM, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 04-04-2014 - 22:18
Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$
Theo AM -GM ta có $\sqrt{a^3+1}\leq \frac{a+1+1-a+a^2}{2}=\frac{a^2+2}{2}$
vậy $\sum \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}\geq 4\sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$
vậy ta cần cm $\sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2\geq 72$
điều này luôn đúng vì $\sum a^2b^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48; \sum a^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12$
dấu = xảy ra khi a=b=c=2
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh