Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

 



#2
phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

Theo AM-GM: $\sqrt{(1+a^3)}=\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$

Tương tự: $\sqrt{1+b^3}\leq \frac{b^2+2}{2};\sqrt{1+c^3}\leq \frac{c^2+2}{2}$

 

BĐT cần CM: $\sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{1}{3}$

 

Biến đổi tương đương: $2\sum a^2+\sum a^2b^2\geq 72$

 

BĐT cuối đúng theo AM-GM: $2\sum a^2\geq 2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=24$

                                             $\sum a^2b^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48$

Vậy BĐT được CM, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 04-04-2014 - 22:18


#3
caovannct

caovannct

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 529 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và abc = 8. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

 Theo AM -GM ta có $\sqrt{a^3+1}\leq \frac{a+1+1-a+a^2}{2}=\frac{a^2+2}{2}$

vậy $\sum \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}\geq 4\sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$

vậy ta cần cm $\sum \frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2\geq 72$

điều này luôn đúng vì $\sum a^2b^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48; \sum a^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12$

dấu = xảy ra khi a=b=c=2






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh