Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$:
Tìm min:
$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$:
Tìm min:
$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$:
Tìm min:
$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Áp dụng AM-GM ta có $M\geqslant (ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}$
Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant \frac{1}{3}$
$\Rightarrow M \geqslant t^2+3t+2\sqrt{1-2t}f(t)$
Xét $f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$$\Rightarrow f''(t)=2-\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^3}}=0\Leftrightarrow t=0$
Lập bảng biến thiên ta có được $f'(t)$ nghịch biến
$\Rightarrow f'(t)\geqslant f'(\frac{1}{3})=\frac{11}{3}-2\sqrt{3}>0$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến $\Rightarrow f(t)\geqslant f(0)=2$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} t=ab+bc+ca=0\\a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và hoán vị
Áp dụng AM-GM ta có $M\geqslant (ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}$
Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant \frac{1}{3}$
$\Rightarrow M \geqslant t^2+3t+2\sqrt{1-2t}f(t)$
Xét $f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$$\Rightarrow f''(t)=2-\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^3}}=0\Leftrightarrow t=0$
Lập bảng biến thiên ta có được $f'(t)$ nghịch biến
$\Rightarrow f'(t)\geqslant f'(\frac{1}{3})=\frac{11}{3}-2\sqrt{3}>0$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến $\Rightarrow f(t)\geqslant f(0)=2$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} t=ab+bc+ca=0\\a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và hoán vị
đề bài cho a,b,c dương mà bạn
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh