Đến nội dung

Hình ảnh

$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tanh

tanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$:

Tìm min:

$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$


Khi để bàn tay bạn trên lò lửa một phút , ta tưởng như lâu một giờ . Khi ngồi gần cô gái đẹp một giờ ta tưởng chỉ mới một phút. Ðó là sự tương đối.

#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=1$:

Tìm min:

$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Áp dụng AM-GM ta có $M\geqslant (ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}$

Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant \frac{1}{3}$

        $\Rightarrow M \geqslant t^2+3t+2\sqrt{1-2t}f(t)$

Xét $f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$$\Rightarrow f''(t)=2-\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^3}}=0\Leftrightarrow t=0$

Lập bảng biến thiên ta có được $f'(t)$ nghịch biến 

          $\Rightarrow f'(t)\geqslant f'(\frac{1}{3})=\frac{11}{3}-2\sqrt{3}>0$

          $\Rightarrow f(t)$ đồng biến $\Rightarrow f(t)\geqslant f(0)=2$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} t=ab+bc+ca=0\\a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và hoán vị


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

Áp dụng AM-GM ta có $M\geqslant (ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}$

Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant \frac{1}{3}$

        $\Rightarrow M \geqslant t^2+3t+2\sqrt{1-2t}f(t)$

Xét $f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$$\Rightarrow f''(t)=2-\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^3}}=0\Leftrightarrow t=0$

Lập bảng biến thiên ta có được $f'(t)$ nghịch biến 

          $\Rightarrow f'(t)\geqslant f'(\frac{1}{3})=\frac{11}{3}-2\sqrt{3}>0$

          $\Rightarrow f(t)$ đồng biến $\Rightarrow f(t)\geqslant f(0)=2$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} t=ab+bc+ca=0\\a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,1)$ và hoán vị

 

đề bài cho a,b,c dương mà bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh