Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 lần thứ XX năm 2014

30-4

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 05-04-2014 - 17:58

Ai nhớ đề bao nhiêu thì đăng lên bấy nhiêu đi , tò mò quá ( câu đa thức nghe đồn chế từ bài VMO 1991 và đã xuất hiện trong Tài liệu mới nhất của Gặp gỡ Toán học ) .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 05-04-2014 - 19:18

1002682_290603521098576_6631948981442210


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 vinh1712

vinh1712

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Hữu Huân

Đã gửi 05-04-2014 - 19:42

buồn quá làm chắc được mỗi câu 1  :(

lấy được đề về hay thế 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinh1712: 05-04-2014 - 19:51


#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-04-2014 - 19:52

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

 

Câu 1: (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
125{y^8} - 125{y^3} + 6\sqrt {15}  = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})\]

Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}},\forall n \ge 1
\end{array} \right.\]

a. Chứng minh $u_{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n},\forall n\ge 1$

b. Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: (3 điểm)

Hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2) \; (R_1>R_2)$ cắt nhau tại hai điểm $M$ và $M'$. Một tiếp tuyến chung $T_1T_2$ của hai đường tròn cắt đường thẳng $O_1O_2$ tại $P$ ($T_1$ thuộc $(O_1), T_2$ thuộc $(O_2)$). Đường thẳng $PM$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $M_1$ và $M_2$ khác $M$. Đường thẳng $PM'$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $M_1'$ và $M_2'$ khác $M'$. Gọi $A,B,C,D$ lần lượt là trung điểm của $MM_1,MM_2,MM_3,M'M_1', M'M_2'$. Chứng minh rằng $A,B,C,D$ nằm trên một đường trọn và đường tròn này tiếp xúc $T_1T_2.$

 

Câu 4: (3 điểm)
Xác định các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x)P(x^2)=P(x^3+3x), \forall x\in \mathbb{R}$

Câu 5: (3 điểm)
Cho hai số tự nhiên $m$ và $n$ sao cho $m>n\ge 1$. Biết rằng hai chữ số tần cùng của $2014^m$ bằng với hai chữ số tận cùng của $2014^n$ theo cùng thứ tự. Tìm các số $m$ và $n$ sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: (3 điểm)
Cho đa giác đều 9 đỉnh $A_1A_2...A_9$. Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biết bằng nhau có tất cả các đỉnh là đỉnh của đa giác cùng màu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-04-2014 - 20:21

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-04-2014 - 20:05

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014


 

Câu 4: (3 điểm)
Xác định các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x)P(x^2)=P(x^3+3x), \forall x\in \mathbb{R}$

Câu này có trên diễn đàn rồi :)) đề này toàn câu cũ...

 

$P(x)P(3x^{2})=P(3x^{3}+x) (1)$
Trường hợp 1: $P(x)\equiv c$ (với c là hằng số thực)

Khi đó (1) $c^{2}=c\iff \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ c=1 & \end{matrix}\right.$

Trường hợp 2: $\deg P=n\geq 1$

Giả sử $P(x)$ thỏa (1).
Với mỗi đa thức $F(x)$ khác đa thức không, kí hiệu $F^*$ hoặc $(F(x)^*)$ chỉ hệ số bậc cao nhất của $F(x)$
$(1)\Rightarrow P*P*3^{n}=P^*3^{n} \iff P^*=1$

$(1)\Rightarrow P^{2}(0)=P(0) \iff  P(0)=1\wedge P(0)=0$

Nếu $P(0)=0$ thì P(x)=$x^{m}Q(x)$ với m nguyên dương và Q(x) là đa thức hệ số thực thỏa $Q(0)$ khác 0.

khi đó: (1) $\iff x^{m}Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{3}+x)^{m}Q(3x^{3}+x) \forall x$

$\iff Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{2}+1)^{m}Q(3x^{3}+x) \forall x\neq 0$

$\iff Q(x)3^{m}x^{2m}Q(3x^{2})=(3x^{2}+1)^{m}Q(3x^{3}+x) \forall x$ (do $Q(x)$ là đa thức)

Lấy $x=0$ ta có $Q(0)=$0 mâu thuẩn với giả thuyết đang xét là $Q(0)$ khác 0.

Vậy không thể có $P(0)=0$ tức là $P(0)=1$

Gọi a là nghiệm phức của P(x) có môđun lớn nhất

Do $P(0)$ khác $0$ $\Rightarrow \left |a \right |>0$. Ta có $P(a)=0$ nên từ (1)
$\Rightarrow P(3a^{3}+a)=0$

$\Rightarrow 3a^{3}+a$ cũng là nghiệm của $P(x)$

$\left | 3a^{3}+a \right |\leq \left | a \right |$

$\Rightarrow 2\left | a \right |\geq \left | a \right |+\left | 3a^{3}+a \right |=\left | a \right |+\left | -3a^{3} -a\right |\geq \left | a-3a^{3}-a \right |=3\left | a \right |^{3}$

$\Rightarrow \left | a \right |^{2}\leq \frac{2}{3}\Rightarrow \left | a \right |\leq 1 \Rightarrow \left | a \right |^{n}\leq 1$.

Gọi $a_1,a_2,...,a_n$ là $n$ nghiệm phức của $P(x)$

Ta có $P*=P(0)=1$ nên theo định lý viét ta có

$\left | a_1 \right |\left | a_2\right |...\left | a_n \right |=\left | a_1a_2..a_n \right |=\left | \frac{P(0)}{P*} \right |=1$

$\Rightarrow1=\left | a_1 \right |\left | a_2 \right |..\left | a_n \right |<\left | a \right |^{n}<1$ (vô lý)
$\Rightarrow $    Không có đa thức P(x) nào có bậc $\geq 1$ mà thỏa (1)
vậy $P(x)$ là đa thức hệ số thực thỏa $(1)\iff P(x)=0$ hoặc $P(x)=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-04-2014 - 20:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 phatsp

phatsp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 05-04-2014 - 20:36

Vào lúc 05 Tháng 4 2014 - 19:52, Ispectorgadget đã nói:

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

 Câu 5: (3 điểm)
Cho hai số tự nhiên $m$ và $n$ sao cho $m>n\ge 1$. Biết rằng hai chữ số tần cùng của $2014^m$ bằng với hai chữ số tận cùng của $2014^n$ theo cùng thứ tự. Tìm các số $m$ và $n$ sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất.

Làm như vầy không biết đúng không
từ giả thiết $\Rightarrow (2014^{m}-2014^{n})|100$
$\Leftrightarrow 2014^{n}(2014^{m-n}-1)|100$
Nhận thấy số có tận cùng =4 khi lũy thừa n thì tận cùng =4 hoặc =6 $(n\geq 1)$
$\Rightarrow 2014^{n}(2014^{m-n}-1)$ không chia hết cho 100 (mâu thuẫn) $(m>n)$
$\Rightarrow$ không tồn tại m,n thỏa ycbt
p/s :Rất rất hy vọng mình làm đúng

#7 phatsp

phatsp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 05-04-2014 - 20:39

Thôi xong r, thiếu TH r
TH1:25*4
Xét do $2014^{n}$ không thể tận cùng bằng (do khong chia hết cho 5)
$\Rightarrow (2014^{m-n}-1)$ tận cùng bằng 25
$\Rightarrow 2014^{m-n}$ tận cùng =6
$\Rightarrow m-n=2a$
ta có $2014^{2a}=(2000+14)^{2a}$
$\Rightarrow ta cần cm 14^{2a}$ không tận cùng bằng 26
ta có $14^{2a}=196^{a}=(200-4)^{a}$
$\Rightarrow$ 2 chữ số tận cùng của $14^{2a}$ là 2 chữ số tận cùng của $(-4)^{a}$
$\Rightarrow (-4)^{a}$ có tận cùng là 26 (vô lý vì số tận cùng =26 không chia hết cho 4)
Ngu quá h mới nghĩ ra
TH2:75*4
cmtt $\Rightarrow (-4)^{a}$ có tận cùng là 76
$\Rightarrow a=2b$
$\Rightarrow$ chữ số tận cùng của $(-4)^{a}=16^{b}$ là 76
tới đấy xét b=1,2,3,4,5
nhận thấy b=5 là GTNN thỏa ycbt (tại biết trước kq mới đám tính thử )
$\Rightarrow $...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatsp: 05-04-2014 - 21:37


#8 TuanNguyenHoangNHC

TuanNguyenHoangNHC

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 05-04-2014 - 21:06

Đáp Án Của Bài Số Học Là (m;n) = (12;2)



#9 phatsp

phatsp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 05-04-2014 - 21:10

Đáp Án Của Bài Số Học Là (m;n) = (12;2)

Xem giúp sai chỗ nào vậy

#10 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 05-04-2014 - 21:28

Câu 5 Vì $m > n \geq 1$ nên ta có 

 $2014^{m}$ và $2014^{n}$ có hai chữ số tận cùng bằng nhau theo đúng thứ tự

$\Leftrightarrow 2014^{m} - 2014^{n} = 2014^{n}. (2014^{m - n} - 1) \vdots 100$ (1)

 

Vì m > n nên $(2014^{m - n} - 1)$ là số lẻ. Do đó từ (1) $\Rightarrow$ $2014^{n} \vdots 4$ $\Rightarrow n \geq 2$

 

Từ (1) $\Rightarrow$ $(2014^{m - n} - 1) \vdots 25$ (2)

Đặt m - n = 10k + r với k, r là số tự nhiên và $0 \leq r \leq 9$

$\Rightarrow 2014^{m - n} \equiv 14^{m - n} = (14^{5})^{2k}. 14^{r} = (537824^{2})^{k}. 14^{r} \equiv ((-1)^{2})^{k}. 14^{r} \equiv 14^{r}$ (mod 25)

Nên từ (2) $\Rightarrow 14^{r} \equiv 1$ (mod 25) . Với $0 \leq r \leq 9$ chỉ có r = 0 thỏa mãn.

Vậy m = n + 10k. Mà m > n nên $k \geq 1$

 

Mà $n \geq 2$ nên m + n = 2n + 10k $\geq$ 2. 2 + 10. 1 = 14

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} m = n + 10. 1\\n = 2 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 12\\n = 2 \end{matrix}\right.$

 

Vậy $\left\{\begin{matrix} m = 12\\n = 2 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 05-04-2014 - 21:31

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#11 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 06-04-2014 - 05:00

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

Câu 6: (3 điểm)
Cho đa giác đều 9 đỉnh $A_1A_2...A_9$. Mỗi đỉnh của đa giác hoặc có màu đỏ hoặc có màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác phân biết bằng nhau có tất cả các đỉnh là đỉnh của đa giác cùng màu.

 

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $5$ đỉnh có cùng một màu

Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 9 đỉnh, 9 đỉnh này chia đường tròn thành 9 phần

Gọi $(x,y,z)$ lần lượt là số đo các cung (đơn vị phần) của một bộ ba đỉnh

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z$

Ta tính được số các bộ $(x,y,z)$ là $6$

Trong $5$ đỉnh cùng màu có $C^3_5=10$ tam giác

Theo nguyên tắc Dirichlet, có ít nhất $2$ tam giác có cùng bộ $(x,y,z)$ (đpcm)



#12 nhatnew

nhatnew

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 06-04-2014 - 11:19

mấy bác cho biết cái này HC tính kiểu gì ( mấy điểm là đc vang vậy)



#13 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 06-04-2014 - 17:27

Câu hệ giải ntn z mọi người???


ONG NGỰA 97. :wub: 


#14 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 07-04-2014 - 20:25

Bỏ câu đa thức, hơi tiếc....(nói trắng là ko ôn phần này :D)

Nhìn chung:

Câu 1: Thay $y^2$ bởi $1-x^2$ vào pt 2 ta được $x^2.y^3=...$ (1) rồi bình phương lên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số..... (để ý từ (1) suy ra y >0)

Câu 2: ý a) dùng quy nạp mười mươi.

ý b) ta dùng bất đẳng thức kẹp phụ $ln(1+\frac{1}{n+k})\leq \frac{1}{n+k} \leq ln(1+\frac{1}{n+k-1})$ và thu được lim= ln2.

Câu 3 (bỏ ý 2): ý a) thì ta dùng phép đối xứng trục $O_{1}O_{2}$ để cm ABDC là hình thang cân.

Câu 4: như trên.

Câu 5: Ta có $2014^{n}(2014^{m-n}-1)\vdots 100$ mà $2014^{m-n}-1$ là số lẻ nên $2014^{n}$ chia hết cho 4, suy ra n ko nhỏ hơn 2. Bây giờ ta xét m-n lẻ thì ta suy ra $2014^{m-n}-1$ tận cùng khác 5 và 0 nên ko chia hết cho 25. Do đó m-n chẵn, Khi đó ta đặt m-n= 2t (t nguyên dương).

Ta có: $2014^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow 14^{2t}-1 \vdots 25\Leftrightarrow (15-1)^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow -30t \vdots 25$ (khai triển nhị thức Newton ta thấy các số hạng thứ 1 đến thứ 2t - 2 đều chứa nhân tử $15^2$ chia hết cho 25. Suy ra t chia hết cho 5, hay t ko nhỏ hơn 5, suy ra m-n ko nhỏ hơn 10.

Do đó m+n = (m-n)+ 2n ko nhỏ hơn 10 + 2.2 = 14 khi m = 12 và n = 2.

Câu 6: Gần giống cách của chú Hoàng, nhưng do hoảng quá nên ngồi chia trường hợp ra xét (nhiều hơn chú Hoàng....:D


  • LNH yêu thích

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#15 mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Bắc Quảng Nam
  • Sở thích:math

Đã gửi 09-04-2014 - 09:52

Câu hệ giải ntn z mọi người???

từ PT đầu suy ra $y\in \left [ -1,1 \right ]$

Dùng điều kiện này để lập bảng biến thiên cho PT 2 từ đó suy ra$y=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

Đề này mình còn mỗi câu số học mới chỉ làm một nửa, làm bài trình bày có thiếu chỗ nào đâu, và kết quả của mình là HCĐ. :angry:



#16 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 21-02-2015 - 19:16

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 TRUYỀN THỐNG LỚP 11 LẦN XX NĂM 2014

 

Câu 4: (3 điểm)
Xác định các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x)P(x^2)=P(x^3+3x), \forall x\in \mathbb{R}$
 

 

 


Lời giải:

Dễ thấy nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì có hai đa thức thỏa mãn bài toán là $P(x)\equiv 0,\forall x\in\mathbb{R}$ và $P(x)\equiv 1,\forall x\in\mathbb{R}$. Ta xét trong trường hợp $P(x)$ khác hằng.

Trong $(*)$ cho $x=0$, ta được $P(0)=0$ hoặc $P(0)=1$.


    Trường hợp 1: $P(0)=0$. Đặt $P(x)=x^k.Q(x)$, trong đó $k\ge 1, Q(0)\neq 0$, thay vào $(*)$ ta được: $$x^{3k}Q(x).Q(x^2)=(x^3+3x)^k.Q(x^3+3x),\forall x\in\mathbb{R}\\\Leftrightarrow x^{2k}.Q(x).Q(x^2)=(x^2+3)^k.Q(x^3+3x),\forall x\in\mathbb{R^*}$$ Do $Q(0)\neq 0$ nên $Q(x)$ có hệ số tự do khác $0$. Gọi hệ số này là $d$. Ta nhận thấy:

       $\bullet$ Hệ số bậc nhỏ nhất của vế trái là: $d^2$

       $\bullet$ Hệ số bậc nhỏ nhất của vế phải là: $3^kd$

 Từ đó suy ra: $$d^2=3^k d\Leftrightarrow d=0, \text{ hay } Q(0)=0,\text{vô lý}$$ Do vậy, ta thu được $P(x)\equiv 0, \forall x\in\mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa $(*)$.


    Trường hợp 2: $P(0)=1$. Đặt $P(x)=x^h.F(x)+1$ trong đó:  $h\ge 1, F(0)\neq 0$, thay vào $(*)$ ta được: $$x^{3h}F(x).F(x^2)+x^hF(x)+x^{2h}F(x^2)=(x^3+3x)^hF(x^3+3x),\forall x\in\mathbb{R}\\\Leftrightarrow x^{2h} F(x).F(x^2)+F(x)+x^hF(x^2)=(x^2+3)^h.F(x^3+3x),\forall x\neq 0$$ Do $F(0)\neq 0$ nên tồn tại $l\neq 0$ là hệ số tự do của $F(x)$. Tương tự như trường hợp 1, ta nhận thấy:

       $\bullet$ Hệ số bậc nhỏ nhất của vế trái là $l$

       $\bullet$ Hệ số bậc nhỏ nhất của vế phải là $3^h l$

  Từ đó suy ra: $$l=3^h.l\Leftrightarrow l=0,\text{ vô lý}$$

 Như vậy, ta thu được $P(x)\equiv 1, \forall x\in\mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa $(*)$.

 Tóm lại, có hai đa thức thỏa mãn bài toán $$\boxed{P(x)\equiv 0,\forall x\in\mathbb{R}\\\\P(x)\equiv 1,\forall x\in\mathbb{R}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 21-02-2015 - 19:25


#17 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 25-02-2015 - 23:30

Bài tổ hợp có trong cuốn của Titu


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#18 Nidalee Teemo

Nidalee Teemo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Diêm Vương
  • Sở thích:Sống ở Trái Đất

Đã gửi 30-12-2015 - 17:41

Câu 5 Vì $m > n \geq 1$ nên ta có 

 $2014^{m}$ và $2014^{n}$ có hai chữ số tận cùng bằng nhau theo đúng thứ tự

$\Leftrightarrow 2014^{m} - 2014^{n} = 2014^{n}. (2014^{m - n} - 1) \vdots 100$ (1)

 

Vì m > n nên $(2014^{m - n} - 1)$ là số lẻ. Do đó từ (1) $\Rightarrow$ $2014^{n} \vdots 4$ $\Rightarrow n \geq 2$

 

Từ (1) $\Rightarrow$ $(2014^{m - n} - 1) \vdots 25$ (2)

Đặt m - n = 10k + r với k, r là số tự nhiên và $0 \leq r \leq 9$

$\Rightarrow 2014^{m - n} \equiv 14^{m - n} = (14^{5})^{2k}. 14^{r} = (537824^{2})^{k}. 14^{r} \equiv ((-1)^{2})^{k}. 14^{r} \equiv 14^{r}$ (mod 25)

Nên từ (2) $\Rightarrow 14^{r} \equiv 1$ (mod 25) . Với $0 \leq r \leq 9$ chỉ có r = 0 thỏa mãn.

Vậy m = n + 10k. Mà m > n nên $k \geq 1$

 

Mà $n \geq 2$ nên m + n = 2n + 10k $\geq$ 2. 2 + 10. 1 = 14

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} m = n + 10. 1\\n = 2 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 12\\n = 2 \end{matrix}\right.$

 

Vậy $\left\{\begin{matrix} m = 12\\n = 2 \end{matrix}\right.$

Tại sao lại cho dấu "=" xảy ra vậy? @@



#19 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 06-03-2016 - 14:52

Bỏ câu đa thức, hơi tiếc....(nói trắng là ko ôn phần này :D)

Nhìn chung:

Câu 1: Thay $y^2$ bởi $1-x^2$ vào pt 2 ta được $x^2.y^3=...$ (1) rồi bình phương lên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số..... (để ý từ (1) suy ra y >0)

Câu 2: ý a) dùng quy nạp mười mươi.

ý b) ta dùng bất đẳng thức kẹp phụ $ln(1+\frac{1}{n+k})\leq \frac{1}{n+k} \leq ln(1+\frac{1}{n+k-1})$ và thu được lim= ln2.

Câu 3 (bỏ ý 2): ý a) thì ta dùng phép đối xứng trục $O_{1}O_{2}$ để cm ABDC là hình thang cân.

Câu 4: như trên.

Câu 5: Ta có $2014^{n}(2014^{m-n}-1)\vdots 100$ mà $2014^{m-n}-1$ là số lẻ nên $2014^{n}$ chia hết cho 4, suy ra n ko nhỏ hơn 2. Bây giờ ta xét m-n lẻ thì ta suy ra $2014^{m-n}-1$ tận cùng khác 5 và 0 nên ko chia hết cho 25. Do đó m-n chẵn, Khi đó ta đặt m-n= 2t (t nguyên dương).

Ta có: $2014^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow 14^{2t}-1 \vdots 25\Leftrightarrow (15-1)^{2t}-1\vdots 25\Leftrightarrow -30t \vdots 25$ (khai triển nhị thức Newton ta thấy các số hạng thứ 1 đến thứ 2t - 2 đều chứa nhân tử $15^2$ chia hết cho 25. Suy ra t chia hết cho 5, hay t ko nhỏ hơn 5, suy ra m-n ko nhỏ hơn 10.

Do đó m+n = (m-n)+ 2n ko nhỏ hơn 10 + 2.2 = 14 khi m = 12 và n = 2.

Câu 6: Gần giống cách của chú Hoàng, nhưng do hoảng quá nên ngồi chia trường hợp ra xét (nhiều hơn chú Hoàng.... :D

bạn có thể nói rõ bài dãy được không ?







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh