Chào các bạn,
BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.
$\boxed{\text{Bài toán 201}}$
Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh: $KB=KC$.
Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.
Với $n \geq 2 $, tfm hằng số $\mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $, thì bất đẳng thức sau luôn đúng :
\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0 \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}
Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$. Tìm $m$ để trên đường thẳng $y = m$ tìm được đúng $4$ điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đường tròn và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^o$.
Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương cho trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật $ABCD$ thỏa mãn điều kiện tồn tại điểm $P$ nằm trong hình chữ nhật và $PA,PB,PC$ lần lượt bằng $x,y,z$
Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$.
Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó 2 chữ số kề nhau không thể cùng là số lẻ
Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :
1/ $\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1$
2/ $\lim_{n\to +\infty}F(n)=0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$
Chứng minh các khẳng định sau :
a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó.
$\boxed{\text{Bài toán 210}}$
Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-05-2014 - 14:35