Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm Min và Max của $P=xy(z+2)$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tom Xe Om

Tom Xe Om

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:ăn ngô nướng :v

Đã gửi 05-04-2014 - 21:20

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1 & \\   2xz+yz+5x=1&  \end{matrix}\right.$.

Tìm Min và Max của $P=xy(z+2)$

(trích đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Hải Phòng bảng A sáng nay)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tom Xe Om: 05-04-2014 - 21:20


#2 Tom Xe Om

Tom Xe Om

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:ăn ngô nướng :v

Đã gửi 06-04-2014 - 09:26

Ủa không có ai giải dùm mình à  :wacko:



#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4266 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-04-2014 - 17:18

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1 & \\   2xz+yz+5x=1&  \end{matrix}\right.$.

Tìm Min và Max của $P=xy(z+2)$

(trích đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Hải Phòng bảng A sáng nay)

Lời giải. Với $x=0$ thì không tồn tại $y,z$ thoả mãn. 

Với $x \ne 0$, từ hệ trên ta suy ra $xz+yz+3x+y=2xz+yz+5x \Leftrightarrow xz+2x=y$ nên $z+2= \frac yx$.

Do đó $P=y^2 \ge 0$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y=0,z=-2$ suy ra $x=1$.

 

Với $x+y=0$ thì từ hệ ta có $3x+y=1$ nên x= \frac 12, y= - \frac 12$. Khi đó $z=-3$. Ta thu được $P=\frac 14$.

Với $2x+y=0$ thì $x= \frac 15, y= - \frac{2}{5}$. Khi đó $z=-4$. Ta tìm được $P= \frac{4}{25}$.

 

Nếu $x+y \ne 0, 2x+y \ne 0$ thì từ hệ ta có $\begin{cases} z= \frac{1-3x-y}{x+y} \\ z= \frac{1-5x}{2x+y} \end{cases}$. Ta suy ra $$\frac{1-3x-y}{x+y}= \frac{1-5x}{2x+y} \Leftrightarrow y^2=x-x^2.$$

Do đó $P=x(1-x) \le \frac 14$.

Dấu bằng xảy ra khi $x= \frac 12, y=\frac 12,z=-1$.

 

Vậy $\min P=0$ xảy ra khi $x=1,y=0,z=-2$.

$\max P= \frac 14$ xảy ra khi $x=y= \frac 12, z=-1$ hoặc $x= \frac 12,y=- \frac 12, z=-3$. $\blacksquare$


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh