Chủ đề này có 2 trả lời

[Tom Xe Om]

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1 & \\   2xz+yz+5x=1&  \end{matrix}\right.$.

Tìm Min và Max của $P=xy(z+2)$

(trích đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Hải Phòng bảng A sáng nay)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tom Xe Om: 05-04-2014 - 21:20

[Tom Xe Om]

Ủa không có ai giải dùm mình à 

[Zaraki]

Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1 & \\   2xz+yz+5x=1&  \end{matrix}\right.$.

Tìm Min và Max của $P=xy(z+2)$

(trích đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Hải Phòng bảng A sáng nay)

Lời giải. Với $x=0$ thì không tồn tại $y,z$ thoả mãn. 

Với $x \ne 0$, từ hệ trên ta suy ra $xz+yz+3x+y=2xz+yz+5x \Leftrightarrow xz+2x=y$ nên $z+2= \frac yx$.

Do đó $P=y^2 \ge 0$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y=0,z=-2$ suy ra $x=1$.

 

Với $x+y=0$ thì từ hệ ta có $3x+y=1$ nên x= \frac 12, y= - \frac 12$. Khi đó $z=-3$. Ta thu được $P=\frac 14$.

Với $2x+y=0$ thì $x= \frac 15, y= - \frac{2}{5}$. Khi đó $z=-4$. Ta tìm được $P= \frac{4}{25}$.

 

Nếu $x+y \ne 0, 2x+y \ne 0$ thì từ hệ ta có $\begin{cases} z= \frac{1-3x-y}{x+y} \\ z= \frac{1-5x}{2x+y} \end{cases}$. Ta suy ra $$\frac{1-3x-y}{x+y}= \frac{1-5x}{2x+y} \Leftrightarrow y^2=x-x^2.$$

Do đó $P=x(1-x) \le \frac 14$.

Dấu bằng xảy ra khi $x= \frac 12, y=\frac 12,z=-1$.

 

Vậy $\min P=0$ xảy ra khi $x=1,y=0,z=-2$.

$\max P= \frac 14$ xảy ra khi $x=y= \frac 12, z=-1$ hoặc $x= \frac 12,y=- \frac 12, z=-3$. $\blacksquare$