Chủ đề này có 6 trả lời

[stronger steps 99]

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

[buiminhhieu]

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}$

Ta đi c/m $\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}\geq \frac{5}{6}(a-1)+\frac{8}{3}$(BĐTĐ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 06-04-2014 - 14:18

[Kaito Kuroba]

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

 

 

một cách khác:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

bây giờ ta cần chứng minh rằng: $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

[stronger steps 99]

một cách khác:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

bây giờ ta cần chứng minh rằng: $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca \Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

đọc kĩ đề đi!

[canhhoang30011999]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}$

Ta đi c/m $\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}\geq \frac{5}{6}(a-1)+\frac{8}{3}$(BĐTĐ)

 

Bạn coi lại đoạn ta cần cm đi

[ILOVECR7]

\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}=\sum \frac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}=\sum \frac{a^{2}+6a+9}{3(a^{2}-2a+3)}=\sum \frac{a^{2}-2a+3+8a+6}{3(a^{2}-2a+3)}=\sum \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{3[(a-1)^{2}+2]}\leq \sum \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{6}=\sum \frac{4}{3}+\frac{4a}{3}=\frac{4(a-1)}{3}+\frac{8}{3}\Rightarrow ĐPCM

[KietLW9]

cho a,b,c >0. CMR : $\sum \frac{\left ( 2a+b+c \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\leq 8$

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$