Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Korean NMO 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 07-04-2014 - 15:01

Ngày 1 (22/03/2014)

Câu 1

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

\[ \frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\ge\left(\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}}\right)^2. \]

 

Câu 2. 
Cho $ABC$ là một tam giác cân có $AC=BC>AB$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$ và $l$ là đường trung trực của $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $l$ và $AB$, đường thẳng đi qua $B$ song song với $KC$ cắt $AC$ tại $L$, đường thẳng $FL$ cắt $l$ tại $W$. Gọi $P$ là trung điểm $BF$, $H$ là trực tâm của tam giác $ACP$, đường thẳng $BH$ cắt đường thẳng $CP$ tại $J$, đường thẳng $FJ$ cắt đường thẳng $l$ tại $M$. Chứng minh rằng $AW=PW$ khi và chỉ khi $B$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFM$.
 
Câu 3
Có $n$ sinh viên đang ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Người ta yêu cầu mối người trong đó viết tên mình vào 1 chiếc thẻ. Sau khi thu thẻ, người ta lại đem phát cho $n$ sinh viên đó, mỗi người một thẻ bất kì. 
 
Mỗi "lượt chơi" là một nhóm hoạt động như sau: Những sinh viên nhận được lại thẻ có tên mình sẽ đứng dậy và đi ra khỏi chỗ ngồi. Các sinh viên còn lại đưa thẻ mình đang cầm cho người ngồi bên tay phải.
 
Tìm số cách trả lại thẻ sao cho tồn tại một học sinh không dời khỏi bàn sau 4 lượt chơi.
 
Ngày 2 (23/03/2014)
Câu 4
Cho tam giác cân $ABC$ có $AC=BC$. Gọi $G$ là một điểm nằm trên $BA$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $D$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DAC$, $E$ là giao điểm của $(O_1)$ với $BC$. Gọi $F$ là một điểm trên $BC$ sao cho $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$; gọi $(O_2)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DBF$. Hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau ở điểm thứ hai $G$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEG$. Chứng minh rằng $FG$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ khi và chỉ khi $DG \perp FO$.
 
Câu 5. 
Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $5$. Giả sử rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $k^2+5$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn: $ p^2 = m^2+5n^2 $
 
Câu 6 
Trên một hòn đảo có $n$ lâu đài. Mỗi lâu đài hoặc là ở vương quốc $A$ hoặc là ở vuông quốc $B$. Có một viên tướng trong mỗi lâu đài, và mỗi viên tướng thuộc về cùng một vương quốc với lâu đài đầu tiên mà anh ta ở. Có một số con đường (2 chiều) nối các lâu đài (có thể có con đường giữa lâu đài của các vương quốc khác nhau). Hai lâu đài được gọi là "liền kề" nếu có một con đường giữa chúng.
 
Chứng minh rằng hai mệnh đề sau là tương đương:
$(1)$ Nếu một số viên tướng từ vương quốc $B$ di chuyển để tấn công một lâu đài liền kề ở vương quốc $A$ , một số viên tướng từ vương quốc $A$ có thể di chuyển  một cách thích hợp để phòng thủ lâu đài liền kề ở vương quốc $A$ sao cho trong mỗi lâu đài của vương quốc $A$, số lượng viên tướng vương quốc $A$ bảo vệ lâu đài không ít hơn số lượng viên tướng vương quốc $B$ tấn công lâu đài đó. (Mỗi viên tướng có thể bảo vệ hoặc tấn công chỉ có một lâu đài tại một thời điểm . )
 
$(2)$ Đối với bất kỳ tập $X$ tùy ý các lâu đài vương quốc $A$, số lượng các lâu đài của vương quốc này có trong $X$ hoặc tiếp giáp với ít nhất một lâu đài trong $X$ không ít hơn số lượng các lâu đài vương quốc $B$ nằm kề với ít nhất một lâu đài trong $X$.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 08-04-2014 - 13:53

 

Ngày 1 (22/03/2014)

Câu 1

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

\[ \frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\ge\left(\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}}\right)^2. \]

 

Câu 2. 
Cho $ABC$ là một tam giác cân có $AC=BC>AB$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$ và $l$ là đường trung trực của $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $l$ và $AB$, đường thẳng đi qua $B$ song song với $KC$ cắt $AC$ tại $L$, đường thẳng $FL$ cắt $l$ tại $W$. Gọi $P$ là trung điểm $BF$, $H$ là trực tâm của tam giác $ACP$, đường thẳng $BH$ cắt đường thẳng $CP$ tại $J$, đường thẳng $FJ$ cắt đường thẳng $l$ tại $M$. Chứng minh rằng $AW=PW$ khi và chỉ khi $B$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFM$.
 
Câu 3
Có $n$ sinh viên đang ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Người ta yêu cầu mối người trong đó viết tên mình vào 1 chiếc thẻ. Sau khi thu thẻ, người ta lại đem phát cho $n$ sinh viên đó, mỗi người một thẻ bất kì. 
 
Mỗi "lượt chơi" là một nhóm hoạt động như sau: Những sinh viên nhận được lại thẻ có tên mình sẽ đứng dậy và đi ra khỏi chỗ ngồi. Các sinh viên còn lại đưa thẻ mình đang cầm cho người ngồi bên tay phải.
 
Tìm số cách trả lại thẻ sao cho tồn tại một học sinh không dời khỏi bàn sau 4 lượt chơi.
 
Ngày 2 (23/03/2014)
Câu 4
Cho tam giác cân $ABC$ có $AC=BC$. Gọi $G$ là một điểm nằm trên $BA$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $D$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DAC$, $E$ là giao điểm của $(O_1)$ với $BC$. Gọi $F$ là một điểm trên $BC$ sao cho $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$; gọi $(O_2)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DBF$. Hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau ở điểm thứ hai $G$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEG$. Chứng minh rằng $FG$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ khi và chỉ khi $DG \perp FO$.
 
Câu 5. 
Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $5$. Giả sử rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $k^2+5$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn: $ p^2 = m^2+5n^2 $
 
Câu 6 
Trên một hòn đảo có $n$ lâu đài. Mỗi lâu đài hoặc là ở vương quốc $A$ hoặc là ở vuông quốc $B$. Có một viên tướng trong mỗi lâu đài, và mỗi viên tướng thuộc về cùng một vương quốc với lâu đài đầu tiên mà anh ta ở. Có một số con đường (2 chiều) nối các lâu đài (có thể có con đường giữa lâu đài của các vương quốc khác nhau). Hai lâu đài được gọi là "liền kề" nếu có một con đường giữa chúng.
 
Chứng minh rằng hai mệnh đề sau là tương đương:
$(1)$ Nếu một số viên tướng từ vương quốc $B$ di chuyển để tấn công một lâu đài liền kề ở vương quốc $A$ , một số viên tướng từ vương quốc $A$ có thể di chuyển  một cách thích hợp để phòng thủ lâu đài liền kề ở vương quốc $A$ sao cho trong mỗi lâu đài của vương quốc $A$, số lượng viên tướng vương quốc $A$ bảo vệ lâu đài không ít hơn số lượng viên tướng vương quốc $B$ tấn công lâu đài đó. (Mỗi viên tướng có thể bảo vệ hoặc tấn công chỉ có một lâu đài tại một thời điểm . )
 
$(2)$ Đối với bất kỳ tập $X$ tùy ý các lâu đài vương quốc $A$, số lượng các lâu đài của vương quốc này có trong $X$ hoặc tiếp giáp với ít nhất một lâu đài trong $X$ không ít hơn số lượng các lâu đài vương quốc $B$ nằm kề với ít nhất một lâu đài trong $X$.

 

Bài 1: Theo bđt Bunhiacopkxi có: $\sqrt[4]{9x^2+3}=\sqrt[4]{(3x)^2+1^2+1^2+1^2}\geq \sqrt[4]{\frac{(3x+1+1+1)^2}{4}}=\sqrt[4]{\frac{9(x+1)^2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{x+1}= > \sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{9x^2+3}}\leq \sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{\frac{3(x+1)}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sum x=\sqrt{\frac{2}{3}}= > (\sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{9x^2+3}})^2\leq (\sqrt{\frac{2}{3}})^2=\frac{2}{3}$ (Do thay $x+y+z=1$)

Do đó cần CM :$\frac{(1+\sum xy)(1+3\sum x^3)}{9(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{3}< = > (1+\sum xy)(1+3\sum x^3)\geq 6(x+y)(y+z)(x+z)< = > 1+\sum xy+3(\sum x^3)(\sum xy)+3\sum x^3\geq 6(x+y)(y+z)(x+z)$

Mà theo AM-GM có:$3\sum x^3\geq \frac{1}{3}(\sum x)^3=\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}= > 3(\sum x^3)(\sum xy)\geq \frac{\sum xy}{3}= > 1+\sum xy+3(\sum x^3)(\sum xy)+3\sum x^3\geq 1+\sum xy+3\sum x^3+\frac{\sum xy}{3}=1+\frac{4\sum xy}{3}+3\sum x^3=(\sum x)^3+\frac{4(\sum xy)(\sum x)}{3}+3\sum x^3$

(Do ta đồng nhất $x+y+z=1$)

  Để hoàn tất bài toán ta đi CM :$(\sum x)^3+\frac{4(\sum xy)(\sum x)}{3}+3\sum x^3\geq 6(x+y)(y+z)(x+z)< = > 3(\sum x)^3+4(\sum x)(\sum xy)+9\sum x^3\geq 18(x+y)(y+z)(x+z)< = > 12\sum x^3\geq 5\sum xy(x+y)+6xyz$

  Nhưng bđt này luôn đúng vì theo AM-GM 3 số có:

$10\sum x^3\geq 5\sum xy(x+y),2\sum x^3\geq 6xyz$

Cộng theo vế và ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$



#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 08-04-2014 - 14:32

Bài 1: Theo bđt Bunhiacopkxi có: $\sqrt[4]{9x^2+3}=\sqrt[4]{(3x)^2+1^2+1^2+1^2}\geq \sqrt[4]{\frac{(3x+1+1+1)^2}{4}}=\sqrt[4]{\frac{9(x+1)^2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{x+1}= > \sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{9x^2+3}}\leq \sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt{\frac{3(x+1)}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sum x=\sqrt{\frac{2}{3}}= > (\sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{9x^2+3}})^2\leq (\sqrt{\frac{2}{3}})^2=\frac{2}{3}$ (Do thay $x+y+z=1$)

Do đó cần CM :$\frac{(1+\sum xy)(1+3\sum x^3)}{9(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{3}< = > (1+\sum xy)(1+3\sum x^3)\geq 6(x+y)(y+z)(z+x)$

Mà $\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\leq \frac{8}{27}$

Nên ta cần chứng minh: $\left ( 3+3\sum xy \right )\left (3+9\sum x^{3} \right )\geq 16\Leftrightarrow \left [ 2+\left ( 1+3\sum xy \right ) \right ]\left [ 2+\left ( 3\sum xy+9\sum x^{3} \right ) \right ]\geq 16\Leftrightarrow 6+2\left ( 6\sum xy+9\sum x^{3} \right )+\left ( 1+3\sum xy \right )\left ( 3\sum xy+\sum 9x^{3} \right )\geq 16$

Mà: $9\sum x^{3}+6\sum xy\geq 3\sum x^{2}+6\sum xy=3\left ( x+y+z \right )^{2}=3$

Và $\left ( 1+3\sum xy \right )\left ( 3\sum xy+9\sum x^{3} \right )\geq \left ( 3\sum xy+3\sqrt{\sum x^{3}} \right )^{2}\geq \left ( 3\sum xy+3\sum x^{2} \right )^{2}\left ( \frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sum x^{2} \right )^{2}\geq 4$

Từ đó ta suy ra được điều phải chứng minh


:lol:Thuận :lol:

#4 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-04-2014 - 10:04

 

Ngày 2 (23/03/2014)
Câu 4
Cho tam giác cân $ABC$ có $AC=BC$. Gọi $G$ là một điểm nằm trên $BA$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $D$. Gọi $(O_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DAC$, $E$ là giao điểm của $(O_1)$ với $BC$. Gọi $F$ là một điểm trên $BC$ sao cho $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$; gọi $(O_2)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DBF$. Hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau ở điểm thứ hai $G$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEG$. Chứng minh rằng $FG$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ khi và chỉ khi $DG \perp FO$.
 
 

Korea 2014 prb 4.jpg

Ta có:$\angle CAB=\angle DEB$ nên $\triangle DBE \sim CBA$.

Suy ra:$DB=DE$ nên $DO$ là đường trung trực của $BE$.

Ta lại có:tứ giác $DBFD$ nội tiếp và $FD$ là tiếp tuyến của $(O_1)$ nên:

$\angle EBG=\angle BDF=\angle DEG$

Suy ra: $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Do đó:$ OG^2=OE^2=OM.OD\Rightarrow $ $\triangle OMG\sim \triangle OGD$

$\Rightarrow\angle OGM=\angle ODG $

Vì $ \angle OMF=90 $ nên $FG$ là tiếp tuyến của $(O)$ khi và chỉ khi: $ \angle OGF=90\iff O,M,G,F $

$ \iff\angle OFM=\angle MGO=\angle ODG\iff DF\perp OF $

Bài ngày một giông giống mà nhìn hình loằng ngoằn quá.TT

http://cuoichutdi.wo...2014-problem-4/


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#5 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2014 - 10:11

 

Câu 5. 
Cho $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $5$. Giả sử rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $k^2+5$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn: $ p^2 = m^2+5n^2 $
 

Xét các số có dạng $x+ky$ với $x,y \in \left \{ 0,1,..\left \lfloor \sqrt{p} \right \rfloor \right \}$ , Có $> p$ giá trị nên tồn tại: $x+ky \equiv u+kv \pmod p$

$\Leftrightarrow a^2 +5b^2 \equiv 0 \pmod p (a,b >0)$ Lại có $a^2 + 5b^2 < 6p$  Ta xét 5TH:

TH1:$a^2 +5b^2 = p$ . Khi đó $p^2=(a^2 -5b^2)^2 + 5(2ab)^2$
TH2:$a^2 +5b^2= 2p$. Khi đó $p^2 = (\dfrac{a^2-5b^2}{2})^2 + 5.(ab)^2$
TH3:$a^2+5b^2=3p$ . Khi đó $2p = (\dfrac{a+5b}{3})^2 + 5(\dfrac{a-b}{3})^2=(\dfrac{a-5b}{3})^2 + 5(\frac{a+b}{3})^2$ Quay trở về TH 2 . 
TH4:$a^2+5b^2=4p$ . Khi đó $p=(\dfrac{a}{2})^2 + 5(\dfrac{b}{2})^2$ ( TH1)
TH5:$a^2 +5b^2=5p$ Khi đó $p=5a_1^2+b^2$ (TH1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 16-04-2014 - 11:23

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh