Chủ đề này có 1 trả lời

[RoyalMadrid]

Chọ họ đường thẳng $(d_{m})$: $y=\frac{m+1}{m^{2}+m+1}x+\frac{m^{2}}{m^{2}+m+1}$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kì đường thẳng nào thuộc họ $(d_{m})$ đi qua.

[E. Galois]

Chọ họ đường thẳng $(d_{m})$: $y=\frac{m+1}{m^{2}+m+1}x+\frac{m^{2}}{m^{2}+m+1}$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kì đường thẳng nào thuộc họ $(d_{m})$ đi qua.

\begin{equation}\label{eq:pt1} y=\frac{m+1}{m^{2}+m+1}x+\frac{m^{2}}{m^{2}+m+1} \Leftrightarrow  (y-1)m^2+(y-x)m+y-x=0\end{equation}

Bài toán trở thành tìm $x,y$ để phương trình $\eqref{eq:pt1}$ với ẩn $m$ vô nghiệm. Điều này tương đương với:

\begin{equation}\label{eq:pt2}\left\{\begin{matrix}y\neq 1\\(y-x)^2-4(y-x)(y-1)<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (y-x)(4-x-3y)<0\end{equation}

Tập hợp các điểm thỏa mãn $\eqref{eq:pt2}$ là phần bị gạch màu xanh, không tính các đường màu đỏ trên hình:

Đó cũng là đáp án của bài toán