Chủ đề này có 4 trả lời

[namdenck49]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=2$ tìm GTNN của

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 12-04-2014 - 11:05

[buitudong1998]

cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=2 tìm GTNN của

P=x²+y²+z²+2xyz

Bài này dùng Dirichle thôi

[Viet Hoang 99]

cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=2 tìm GTNN của

P=x²+y²+z²+2xyz

Gợi ý:

Có:

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)=(2-2z)(2-2y)(2-2z)=8(1-x-y-z+xy+yz+xz-xyz)$

 

$\Rightarrow 9xyz\geq 8(xy+yz+xz)-8$

 

$\Rightarrow 2xyz\geq \frac{16}{9}(xy+yz+xz)-\frac{16}{9}$

[namdenck49]

Gợi ý:

Có:

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)=(2-2z)(2-2y)(2-2z)=8(1-x-y-z+xy+yz+xz-xyz)$

 

$\Rightarrow 9xyz\geq 8(xy+yz+xz)-8$

 

$\Rightarrow 2xyz\geq \frac{16}{9}(xy+yz+xz)-\frac{16}{9}$

bạn ơi mình chưa hiểu tại sao 

xyz$\geq$ (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namdenck49: 09-04-2014 - 07:51

[RainThunde]

 

bạn ơi mình chưa hiểu tại sao 

$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)$

Chứng minh:

- Nếu $x+y-z<0\Rightarrow y+z-x>2y>0$ và $z+x-y>2x>0$

$\Rightarrow xyz>0>(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$.

Tương tự cho các trường hợp $y+z-x<0$ và $z+x-y<0$

 

- Nếu $x+y-z\geq 0$, $y+z-x\geq 0$ và $z+x-y\geq 0$:

Theo AM-GM $\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)}\leq y$

$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)}\leq z$

$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)}\leq x$

Nhân từng vế 3BĐT trên ta được $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$

 

- Vậy BĐT đã cho đúng.

 

Nhận xét: Nếu khai triển ra thì đây là bđt Schur với n=1

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 10-04-2014 - 01:14