Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})+\frac{2bc}{a^{2}}-\sqrt{7-\frac{3bc}{a^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngô Sĩ Liên

Đã gửi 10-04-2014 - 00:07

Cho a,b,c>0 thoã mãn (a+b)(a+c)=4$a^{2}$

Tìm GTNN của biểu thức: P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})+\frac{2bc}{a^{2}}-\sqrt{7-\frac{3bc}{a^{2}}}$



#2 RainThunde

RainThunde

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 10-04-2014 - 01:46

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$

Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$

 

$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$

 

Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$

 

Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.

Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$

 

Vậy P không tồn tại GTNN


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 10-04-2014 - 01:49


#3 haianhngobg

haianhngobg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Ngô Sĩ Liên

Đã gửi 10-04-2014 - 23:54

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$

Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$

 

$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$

 

Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$

 

Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.

Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$

 

Vậy P không tồn tại GTNN

Bạn bị nhầm phần này:

P phải bằng $4(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x})+2xy-\sqrt{7-3xy}$

$\Rightarrow P=x^{2}+y^{2}+x+y+2xy-\sqrt{7-3xy} \Rightarrow P=x^{2}+y^{2}+3+xy-\sqrt{7-3xy} \Rightarrow P=3+(x+y)^{2}-xy-\sqrt{7-3xy}$

Phần trên chứng minh được t$\leq$1 nên x+y=3-t$\geq$2

Do đó P$\geq$$7-t-\sqrt{7-3t}$

Xét hàm số $f(t)=7-t-\sqrt{7-3t}$ với $t\in (0;1]$

Ta có f'(t)=-1+$\frac{3}{2\sqrt{7-3t}}<0$ với mọi $t\in (0;1]$

Hàm số nghịch biến nên f(t)$\geq$f(1)=4

Vậy Min P=4. Dấu = xảy ra khi x=y=z.

Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.



#4 RainThunde

RainThunde

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-04-2014 - 00:09

Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.

Mình chỉ học tập kinh nghiệm từ bài này: http://diendantoanho...t-bc-right-4c2/. Theo ý kiến cá nhân mình, những bài bđt ba biến, nhưng chỉ đối xứng với hai biến (trong bài của bạn thì đối xứng với b và c) thì có thể sử dụng.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh