Cho a,b,c>0 thoã mãn (a+b)(a+c)=4$a^{2}$
Tìm GTNN của biểu thức: P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})+\frac{2bc}{a^{2}}-\sqrt{7-\frac{3bc}{a^{2}}}$
Cho a,b,c>0 thoã mãn (a+b)(a+c)=4$a^{2}$
Tìm GTNN của biểu thức: P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})+\frac{2bc}{a^{2}}-\sqrt{7-\frac{3bc}{a^{2}}}$
$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$
Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$
$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$
$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$
Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$
Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.
Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$
Vậy P không tồn tại GTNN
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 10-04-2014 - 01:49
$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$
Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$
$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$
$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$
Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$
Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.
Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$
Vậy P không tồn tại GTNN
Bạn bị nhầm phần này:
P phải bằng $4(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x})+2xy-\sqrt{7-3xy}$
$\Rightarrow P=x^{2}+y^{2}+x+y+2xy-\sqrt{7-3xy} \Rightarrow P=x^{2}+y^{2}+3+xy-\sqrt{7-3xy} \Rightarrow P=3+(x+y)^{2}-xy-\sqrt{7-3xy}$
Phần trên chứng minh được t$\leq$1 nên x+y=3-t$\geq$2
Do đó P$\geq$$7-t-\sqrt{7-3t}$
Xét hàm số $f(t)=7-t-\sqrt{7-3t}$ với $t\in (0;1]$
Ta có f'(t)=-1+$\frac{3}{2\sqrt{7-3t}}<0$ với mọi $t\in (0;1]$
Hàm số nghịch biến nên f(t)$\geq$f(1)=4
Vậy Min P=4. Dấu = xảy ra khi x=y=z.
Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.
Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.
Mình chỉ học tập kinh nghiệm từ bài này: http://diendantoanho...t-bc-right-4c2/. Theo ý kiến cá nhân mình, những bài bđt ba biến, nhưng chỉ đối xứng với hai biến (trong bài của bạn thì đối xứng với b và c) thì có thể sử dụng.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh