Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuaZel]

ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 150 phút

File gửi kèm

•  4.bmp   2.25MB   167 Số lần tải

[E. Galois]

Bài 1 (4 điểm)

Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, \text{với }a\geq \sqrt{b},b\geq 0$$

Áp dụng, rút gọn biểu thức:

$$A=\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}\right) }{2+\sqrt{1-x^2}}$$

a) Tìm $x$ để $A=\sqrt{2}$.

b) Tính $P= \left( x^{2015}-3x^{2013}+1 \right)^{2014}$ ứng với $x$ vừa tìm được ở câu $a$.

 

Bài 2 (4 điểm)

a) Giải phương trình: $2x^2+4x+3 = 3\sqrt{x^2+x+1}+x^2+3x$

b) Tìm $x$ nguyên sao cho $P=\frac{16x^4+48x^3+44x^2+12x+1}{x^2+6x+9}$ là một số chính phương có $4$ chữ số. Tìm số chính phương đó.

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho $x,y,m$ là các số thực thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x - my = m \\  mx + y = \frac{{3m^2  + 4}}{{m^2  + 4}}  \end{array} \right.$$

a) Chứng minh rằng: $x^2+y^2=1$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^3+y^3$.

 

Bài 4 (3 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có diện tích là $S$ và điểm $O$ nằm trong tứ giác, sao cho:

$$OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2S$$

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

 

Bài 5 (4 điểm)

Cho hình vuông $ABC$ cạnh $a$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ và trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $\widehat{MBN}=45^o$ ($M,N$ không trùng với $D$). Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AC$ với $BM$ và $BN$.

a) Chứng minh tứ giác $EFNM$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $MN$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định và tam giác $MND$ có chu vi không đổi.

c) Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $MND$ có diện tích lớn nhất.

 

Bài 6(2 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=4$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4zx}+\frac{1}{z^2+4xy}<\frac{1}{xyz}$$

[Viet Hoang 99]

 

Bài 1 (4 điểm)

Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, \text{với }a\geq \sqrt{b},b\geq 0$$

Áp dụng, rút gọn biểu thức:

$$A=\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}\right) }{2+\sqrt{1-x^2}}$$

a) Tìm $x$ để $A=\sqrt{2}$.

b) Tính $P= \left( x^{2015}-3x^{2013}+1 \right)^{2014}$ ứng với $x$ vừa tìm được ở câu $a$.

 

Bài 2 (4 điểm)

a) Giải phương trình: $2x^2+4x+3 = 3\sqrt{x^2+x+1}+x^2+3x$

b) Tìm $x$ nguyên sao cho $P=\frac{16x^4+48x^3+44x^2+12x+1}{x^2+6x+9}$ là một số chính phương có $4$ chữ số. Tìm số chính phương đó.

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho $x,y,m$ là các số thực thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x - my = m \\  mx + y = \frac{{3m^2  + 4}}{{m^2  + 4}}  \end{array} \right.$$

a) Chứng minh rằng: $x^2+y^2=1$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^3+y^3$.

 

Bài 4 (3 điểm)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có diện tích là $S$ và điểm $O$ nằm trong tứ giác, sao cho:

$$OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2S$$

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

 

Bài 5 (4 điểm)

Cho hình vuông $ABC$ cạnh $a$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ và trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $\widehat{MBN}=45^o$ ($M,N$ không trùng với $D$). Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $AC$ với $BM$ và $BN$.

a) Chứng minh tứ giác $EFNM$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $MN$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định và tam giác $MND$ có chu vi không đổi.

c) Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $MND$ có diện tích lớn nhất.

 

Bài 6(2 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=4$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4zx}+\frac{1}{z^2+4xy}<\frac{1}{xyz}$$

 

2)
a) $PT\Leftrightarrow x^2+x+1-3\sqrt{x^2+x+1}+2=0\Leftrightarrow t^2-3t+2=0$

b) $P=\frac{(4x^2+6x+1)^2}{(x+3)^2}$
4)
$S_{ABCD}=S_{OAB} + S_{OBC} + S_{OCD} +S_{OCA}$
Có: $S_{OAB} =\frac{1}{2}.OA.OB.sinAOB\leq \frac{1}{2}.OA.OB\leq \frac{OA^2 + OB^2}{4}$ 

Tương tự: ...
Cộng theo vế: 
$\Rightarrow 2S\leq (OA^2 + OB^2 + OC^2 +OD^2)$
Dấu = có khi:
$OA^2 = OB^2 = OC^2 = OD^2 $
và góc $\widehat{AOB}= \widehat{BOC} = \widehat{COD} =\widehat{DOA} = 90^o$ 
$\Rightarrow ABCD$ là hình vuông tâm $O$

 

6) 

$\sum \frac{1}{x^2+4yz}\leq \sum \frac{1}{4yz}<\frac{1}{xyz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-04-2014 - 21:24

[Trang Luong]

 

 

Bài 6(2 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=4$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^2+4yz}+\frac{1}{y^2+4zx}+\frac{1}{z^2+4xy}<\frac{1}{xyz}$$

 

P/s: Máy tính nhà em đang lỗi không đánh được Latex. nên m.n thông cảm

[Viet Hoang 99]

vmfCapture.JPG

P/s: Máy tính nhà em đang lỗi không đánh được Latex. nên m.n thông cảm

Máy mình cũng vậy đó, nhìn bài 6 của mình đi, bạn phức tạp hoá rồi