Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ và $a,b,c,d\neq 0$ thỏa mãn $ab=cd$. CM: $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xthieuongx2000: 10-04-2014 - 22:13
Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ và $a,b,c,d\neq 0$ thỏa mãn $ab=cd$. CM: $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$là hợp số
Bắt đầu bởi xthieuongx2000, 10-04-2014 - 22:12
#2
Đã gửi 11-04-2014 - 22:11
smush06
-
- Thành viên
-
- 49 Bài viết
Binh nhất
Đặt UCLN(a,c)=p với p thuộc N*. Từ đó suy ra a=px và c=py với UCLN(x,y)=1.
Có ab=cd nên bx=yd. Suy ra b chia hết cho y và d chia hết cho x. Đặt b=my, d=mx( m khác 0)
Ta có: $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}=p^{2014}.x^{2014}+m^{2014}.y^{2014}+p^{2014}.y^{2014}+m^{2014}.x^{2014}=(p^{2014}+m^{2014})(x^{2014}+y^{2014})$
Mà $p^{2014}+m^{2014}$ lớn hơn hoặc bằng 2 và $x^{2014}+y^{2014}$ lớn hơn hoặc bằng 2 suy ra đpcm
Có ab=cd nên bx=yd. Suy ra b chia hết cho y và d chia hết cho x. Đặt b=my, d=mx( m khác 0)
Ta có: $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}=p^{2014}.x^{2014}+m^{2014}.y^{2014}+p^{2014}.y^{2014}+m^{2014}.x^{2014}=(p^{2014}+m^{2014})(x^{2014}+y^{2014})$
Mà $p^{2014}+m^{2014}$ lớn hơn hoặc bằng 2 và $x^{2014}+y^{2014}$ lớn hơn hoặc bằng 2 suy ra đpcm
#3
Đã gửi 13-04-2014 - 17:48
BoY LAnH LuNg
-
- Thành viên
-
- 87 Bài viết
Hạ sĩ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
