Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 7 - PT, HPT đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 64 trả lời

#21 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 11-04-2014 - 21:22

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$

 

     d =10

     S =17+10.3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:23


#22 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-04-2014 - 21:25

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài dự thi trận $7$ của $MSS 27$

 

Điều kiện: $x \geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ và $\sqrt{x^2+x+1}=b$.

 

Vậy: $3a^2+2b^2=2x^2+5x-1=VT$

 

Phương trình đầu tương đương:

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=2b\\ 3a=b\end{bmatrix}$

 

Với $a=2b$, ta có phương trình:

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

 

$\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0 (1)$

 

$\Delta =9-4.4.5=-71<0$

 

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm.

 

Với $3a=b$, ta có phương trình:

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0 (2)$

 

$\Delta'=16-1.10=6>0$ 

 

Vậy phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

 

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6}\\ x_{1}=\dfrac{4-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

 

Kết hợp điều kiện và nhận cả hai nghiệm.

 

 

Kết luận: Phương trình đầu có hai nghiệm $S={4+\sqrt{6};4-\sqrt{6}}$

 

 

     d =10

     S =17+10.3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:23

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#23 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 11-04-2014 - 21:31

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$



#24 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-04-2014 - 21:35

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

Phương trình đã cho trở thành

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

 

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

$\Leftrightarrow 4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

 

      d =10

      S =17+10.3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24


#25 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 11-04-2014 - 21:36

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS 13:buiminhhieu:

ĐK:$x\geq 1$

Ta có  Phương trình đã cho tương đương:

$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^{2}+x+1}=b;(a\geq 0;b>0)$

Khi đó Phương trình trở thành :

$2b^{2}+3a^{2}=7ab\Leftrightarrow (2b-a)(b-3a)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2b=a(I) & \\ b=3a(II) & \end{bmatrix}$

TH1)$(I)2b=a\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x-1}\Rightarrow 4x^{2}+4x+4=x-1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(Loại vì $\Delta =-71<0$)

TH2)$(II)b=3a\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}=3\sqrt{x-1}\Rightarrow x^{2}+x+1=9x-9$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Rightarrow (x-4)^{2}=6$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$(Thử lại thỏa mãn )

Vậy nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4-\sqrt{6};4+\sqrt{6} \right \}$

 

 

    d =10

    S =17+10.3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#26 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-04-2014 - 21:42

Mở rộng (MSS 52): (làm lại, Bổ sung MR ở trên)

 

Phương trình dạng:     $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Đến đây, đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$.

 

PT ban đầu trở thành :

 

$a.A_{(x)}+b.B_{(x)}=c\sqrt{A_{x}.B_{x}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

  • $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.
  • $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$a.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-c\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+b=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$

 

PT$\Leftrightarrow at^{2}-ct+b=0$

 

Giải PT tìm $t,x$


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#27 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 11-04-2014 - 21:50

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS07 :

ĐKXĐ : $x^{3}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 1$
Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình 
$x> 1\Rightarrow \sqrt{x^{3}-1}+x-1> 0$
Ta có :
$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)+21x-21-7\sqrt{x^3-1}=0\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7.\frac{x^{3}-1-9(x-1)^{2}}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7.\frac{(x-1)(x^2-8x+10)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0\Rightarrow (x^{2}-8x+10)(2-\frac{7(x-1)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)})=0$
Xét :
- Trường hợp 1 : $x^{2}-8x+10=0\Rightarrow (x-4)^{2}-6=0\Rightarrow (x-4+\sqrt{6})(x-4-\sqrt{6})=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6} & \end{bmatrix}$
Thử lại thì cả 2 nghiệm trên đều thỏa
- Trường hợp 2 : $2-\frac{7(x-1)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0$
$\Rightarrow 2-\frac{7}{\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}}+3}=0$
Đặt : $\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=y\Rightarrow yx-y=x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x(1-y)+1+y=0\Rightarrow \Delta =(1-y)^{2}-4(y+1)\geq 0\Rightarrow y^{2}-2y+1-4y-4\geq 0\Rightarrow y^{2}-6y-3\geq 0$
Mặt khác ta lại có : $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1> 0 & \\ x-1> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y> 0$
$y^{2}-6y-3\geq 0\Rightarrow y\geq 3+2\sqrt{3}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3\geq \sqrt{3+2\sqrt{3}}+3\Rightarrow 2-\frac{7}{\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3}> 0$
Suy ra phương trình ở trường hợp 2 vô nghiệm 
Vậy phương trình có 2 nghiệm :
$S\in \left \{ 4+\sqrt{6};4-\sqrt{6} \right \}$

 

    d =10

   S =17+10.3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#28 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-04-2014 - 22:06

Mở rộng (MSS 52):

 

Phương trình dạng:     $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

$\Leftrightarrow ax^{2}+bx+c=(\alpha .m+\beta m')x^{2}+(\alpha .n+\beta .n')x+\alpha .p+\beta .p'$

 

Đến đây, đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$.

 

PT ban đầu trở thành :

 

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{x}.B_{x}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$a.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+b=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$

 

PT$\Leftrightarrow at^{2}-dt+b=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#29 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-04-2014 - 22:06

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10: Em xin gửi lại bài làm

Cách 1:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

 

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

 

Phương trình đã cho trở thành

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

 

 

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

 

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

 

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

 

Cách 2:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Ta có

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Rightarrow (2x^2+5x-1)^2-49(x^3-1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0\\ 4x^2+3x+5=0 \end{bmatrix}$

 

Trường hợp 1: 

$x^2-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

 

 

Trường hợp 2:

$4x^2+3x+5=0$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

  Hoan nghênh giải nhiều cách nhưng điểm vẫn vậy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26


#30 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 11-04-2014 - 22:21

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

 

Mình không phải là toán thủ thi đấu

ĐK: $x\geq 1$

phương trình đã cho tương đương với:

$3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}=a & \\ \sqrt{x^2+x+1}=b& \end{matrix}\right.(a,b\geq 0)$

pttt: $3a^2+2b^2-7ab=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2b & \\ a=\frac{b}{3}& \end{bmatrix}$

  • $a=2b$ $\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow x-1=4(x^2+x+1)\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$ (VN)
  • $a=\frac{b}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow 9(x-1)=x^2+x+1\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4-\sqrt{6} & \\ x=4+\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

thử lại ta thấy 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK và phương trình. Vậy pt có 2 nghiệm



#31 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-04-2014 - 22:30

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Mở rộng trận $7$ của $MSS 27$

 

giải phương trình tổng quát có dạng:

 

$ax^2+bx+c=k\sqrt{(dx+e)(qx^2+ux+v)}$

 

Trong đó $a$ là số hữu tỉ, $b,c,k,d,e,q,u,v$ tùy ý

 

Giải:

 

Gọi $dx+e=f_{x}$ và $qx^2+ux+v=g_{x}$

 

Ta được phương trình đầu viết lại:

 

$$ax^2+bx+c=k\sqrt{f_{x}.g_{x}}(1)$$

 

Tách vế trái:

 

$ax^2+bx+c=\alpha f_{x}+\beta g_{x}$

 

$\begin{bmatrix} \alpha =a;\alpha +\beta =b;\beta e+\alpha v=c\\ \beta =a;\alpha +\beta =b;\alpha e+\beta v=c\end{bmatrix}$

 

Giải và tìm $\alpha;\beta$

 

Tiếp tục đặt 

 

$\sqrt{f_{x}}=m;\sqrt{g_{x}}=n(m;n>0)\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \alpha m^2+\beta n^2=kmn$

 

Biện luận $n=0$ (nếu có thể), tìm nghiệm

 

$n\neq 0\Rightarrow$ chia hai vế cho $n^2$, ta được

 

$\alpha \frac{m^2}{n^2}-k\frac{m}{n}+\beta=0$

 

Đặt $\frac{m}{n}=t$, ta lại được:

 

$\alpha t^2-kt+\beta=0$

 

Từ đó giải phương trình bậc hai tìm $t$ và dễ dàng tìm được $x$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#32 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 11-04-2014 - 22:51

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1} (1)$

Đề thi của l4lzTeoz

 

MSS54:

 

ĐKXĐ: $\forall x \in \mathbb{R}; x \geq 1$

 

Ta có pt: $(1) \Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x - 1)(x^2+ x + 1)}$

 

- Xét x = 1 thì (1) trở thành: $2.1^2+5.1-1=7\sqrt{1^3-1} \\ \Leftrightarrow 6=0$

 

Điều này vô lí $\Rightarrow$ x = 1 không là nghiệm của (1).

 

- Xét $x \neq 1$ thì (1) $\Leftrightarrow 3+\dfrac{2(x^2+x+1)}{x-1}= 7\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}} (2)$

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=t (t \geq 0)$ thì (2) trở thành: $3+2t^2=7t \\ \Leftrightarrow 2t^2-6t-t+3=0 \\ \Leftrightarrow (t-3)(2t-1)=0 \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=3 & \\ t=\dfrac{1}{2} & \end{bmatrix}$

 

(thỏa mãn đk: $t \geq 0$)

 

$\bigstar t=3$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=3 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=9 \\ \Leftrightarrow x^2-8x+10=0(3)$

 

(3) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta '=(-4)^2-1.10=6>0$ nên (3) có 2 nghiệm phân biệt: 

 

$\begin{bmatrix} x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6} & \\ x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6} & \end{bmatrix}$

 

(thỏa mãn ĐKXĐ và $x \neq 1$)

 

$\bigstar t=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=\dfrac{1}{4} \\ \Leftrightarrow x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}=0(4)$

(4) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta=(\dfrac{3}{4})^2-4.1.\dfrac{5}{4}=\dfrac{-71}{16}<0$ nên (4) vô nghiệm.

 

Như vậy pt (1) có tập nghiệm $S=\left \{4 \pm \sqrt{6} \right \}$

 

   d =10

   S =47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26


#33 huukhangvn

huukhangvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nhà của tui
  • Sở thích:nói chung là có

Đã gửi 12-04-2014 - 09:05

MMS:53

 

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$*

Đề thi của l4lzTeoz

Phương trình <=>$(2x^2+5x-1)^{2}=(7\sqrt{x^{3}-1})^{2}$

                       <=>$4x^{4}+20x^{3}+21x^{2}-10x+1=49x^{3}-49$

                       <=>$4x^{4}-29x^{3}+21x^{2}-10x+50=0$

                       <=>$(4x^{4}+3x^{3}+5x^{2})+(-32x^{3}-24x^{2}-40x)+(40x^{2}+30x+50)=0$

                       <=>$(4x^{2}+3x+5)(x^{2}-8x+10)=0$

=>$4x^{2}+3x+5=0$ hoặc $x^{2}-8x+10=0$

* TH1: $4x^{2}+3x+5=0$

Ta có: $\Delta =3^{2}-4.4.5$=-71$< 0$ 

=> phương trình vô nghiệm 

*TH2: $x^{2}-8x+10=0$

$\Delta =(-8)^{2}-10.4$=24

x1=$\frac{\sqrt{24}+8}{2}=\sqrt{6}+4$

x2=$\frac{8-\sqrt{24}}{2}=4-\sqrt{6}$

Tóm lại :phương trình (*) có 2 nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ và $x=4+\sqrt{6}$

                         

     d=10

     S =47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26


#34 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 12-04-2014 - 11:13

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐK: $x\geq 1$
Phương trình đã cho tương đương với: $$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$$
Đặt $u=\sqrt{x^{2}+x+1},v=\sqrt{x-1}; \ u,v\ge 0 $ suy ra:

$$2u^{2}+3v^{2}=7uv \iff  (u-3v)(2u-v)=0 \\ \iff \begin{bmatrix} u=3v \\ 2u=v \end{bmatrix}  \iff \begin{bmatrix} \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1} \\ 2\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x-1} \end{bmatrix} \\ \iff \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0 \\ 4x^2+3x+5=0 (VN)\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} x=4- \sqrt{6} \\ x=4+ \sqrt{6} \end{bmatrix}$$

Vậy Tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ 4 \pm \sqrt{6} \}$


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#35 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 12-04-2014 - 11:35

Mở rộng:  Giải phương trình: $a. A(x)+b.B(x)=c.\sqrt{A(x).B(x)}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}; \ A(x), \ B(x)$ là các đa thức.

Giải: Đặt $\begin{cases}\sqrt{A(x)}=m\ge 0\\\sqrt{B(x)}=n\ge 0\end{cases}$. Phương trình có dạng:

$$am^2+bn^2=cmn \ \ (*)$$

Nhận thấy $n=0$ không là nghiệm của phương trình , chia cả 2 vế phương trình $(*)$ cho $n^2\neq 0$ ta được:

$$a.\dfrac{m^2}{n^2}-c.\dfrac{m}{n}+b=0\iff at^2-ct+b=0\left(t=\dfrac{m}{n}\right) \implies t=\dfrac{c\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Tìm được $t$ thay vào tìm tỉ số $m,n$ rồi tìm ra x. 

 


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#36 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 12-04-2014 - 11:39

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Cách 2:    ĐK: $x\ge 1$, bình phương 2 vế :

$$(2x^{2}+5x-1)^2=(7\sqrt{x^{3}-1})^2 \\ \iff 4x^4-29x^3+21x^2-10x+50=0 \\ \iff (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0 \\  \implies x=4\pm \sqrt{6}$$


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#37 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 12-04-2014 - 11:58

Mở rộng 2:

Cho $m,n>0;p\geq q\geq 0$. Giải phương trình : 

$\left ( mn+1 \right )\sqrt{p^x-q^x}=n\left ( p-q \right )+m\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$ Với $x\geq 1$

Bài giải : Ta thấy : $p^x-q^x=\left ( p-q \right )\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$

Đặt $\left ( p-q \right )=u,\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )=v$

Thao vào PT ban đầu $\Rightarrow nu^2+mv^2-(mn+1)uv=0\Leftrightarrow \left ( nu-v \right )\left ( u-mv \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} nu-v=0\\ u-mv=0 \end{bmatrix}$

Ta xét các trường hợp : 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#38 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-04-2014 - 12:09

Mở rộng 1(MSS 52):

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$ ($a,b,c,d$ là các số thực)

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$\alpha.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+\beta=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$ ($t\geq 0$)

 

PT$\Leftrightarrow \alpha.t^{2}-dt+\beta=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 

 

Mở rộng 2:

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Ta cũng tiếp tục tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Bình phương 2 vế của PT: 

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).A_{(x)}^{2}+2\alpha \beta. A_{(x)}.B_{(x)}+(\beta ^{2}-d^{2}n)B^{2}_{(x)}=0$

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).(\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}})^{2}+2\alpha \beta. \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

Đặt $\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}=t$ ($t$ thuộc R)


PT$\Leftrightarrow (\alpha ^{2}-d^{2}m)t^{2}+2\alpha \beta.t+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

 

Giải PT tìm $t,x$.


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#39 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-04-2014 - 12:10

Mở rộng 1(MSS 52):

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$ ($a,b,c,d$ là các số thực)

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$\alpha.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+\beta=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$ ($t\geq 0$)

 

PT$\Leftrightarrow \alpha.t^{2}-dt+\beta=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 

 

Mở rộng 2:

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Ta cũng tiếp tục tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Bình phương 2 vế của PT: 

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).A_{(x)}^{2}+2\alpha \beta. A_{(x)}.B_{(x)}+(\beta ^{2}-d^{2}n)B^{2}_{(x)}=0$

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).(\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}})^{2}+2\alpha \beta. \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

Đặt $\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}=t$ ($t$ thuộc R)


PT$\Leftrightarrow (\alpha ^{2}-d^{2}m)t^{2}+2\alpha \beta.t+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

 

Giải PT tìm $t,x$.


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#40 eatchuoi19999

eatchuoi19999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 320 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tứ Kì

Đã gửi 12-04-2014 - 19:42

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

BÀI LÀM CỦA TOÁN THỦ MSS17

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

ĐKXĐ: $x\geqslant 1$

Phương trình trên $\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$ (1)

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b$, (1) trở thành:

$3a^2+2b^2=7ab$
$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0$
$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $3a=b$

     +) Nếu $a=2b$ ta có: $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$
         $\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$
         $\Leftrightarrow \left ( x+\frac{3}{8} \right )^2+\frac{71}{64}=0$ (vô lí)
     +) Nếu $3a=b$ ta có: $3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$
         $\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$
         $\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$
         $\Leftrightarrow (x-4)^2=6$
         $\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4\pm \sqrt{6} \right \}$
 
   d =10
   S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:27





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh