Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 7 - PT, HPT đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 64 trả lời

#41 Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi Có Ý Chí
  • Sở thích:Đi Lang Thang

Đã gửi 12-04-2014 - 21:10

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 1$
$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a(a> 0),\sqrt{x-1}=b(b\geq 0)$

PT trở thành: $2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow (2a^{2}-ab)-(6ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow a(2a-b)-3b(2a-b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=3b \\ 2a=b \end{bmatrix}$

* Với a=3b.

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}=3\sqrt{x-1}(x\geq 1)\Leftrightarrow x^{2}+x+1=9x-9\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow (x-4-\sqrt{6})(x-4+\sqrt{6})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$
2 giá trị trên của x đều thỏa mãn ĐKXĐ.
* Với 2a=b.
$\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x-1}(x\geq 1)\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0(*)$
PT(*) vô nghiệm vì $\Delta _{(*)}=9-80=-71<0.$
Vậy S={$4-\sqrt{6};4+\sqrt{6}$}.


Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#42 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 12-04-2014 - 21:30

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(1)$

Đề thi của l4lzTeoz

 

Bài làm của toán thủ MSS 004

 

ĐKXĐ:  $x \geq 1$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{x^2+x+1}.\sqrt{x-1}$ (Do $x \geq 1$ nên $\sqrt{x^3-1}=\sqrt{x^2+x+1}.\sqrt{x-1}$)

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+x+1} &=u & \\ \sqrt{x-1} &=v & \end{matrix}\right.(u>0;v \geq 0)$ ta có phương trình $2u^2+3v^2=7uv$

$\Leftrightarrow (u-3v)(2u-v)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} u=3v & & \\ u=\dfrac{v}{2} & & \end{bmatrix}$

 

Với $u=3v$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x^2+x+1=9x-9\\\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$(t/m dk)

 

Với $u=\dfrac{v}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 4(x^2+x+1)=x-1 \Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$ (Vô nghiệm do $\Delta=-71$)

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm  là $\boxed{x=4\pm \sqrt 6}$

 

(P/s:\ T.T \BQT có giải nào trao cho người giải chậm không ạ...)

 

   Giải thì không có nhưng điểm thì có:

  d =10

  S =47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:35

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#43 lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trường THCS Sông Lô, Sông Lô, Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Math!!

Đã gửi 12-04-2014 - 22:58

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

SBD: MSS 57

Trước hết ta sẽ tìm điều kiện để căn thức $\sqrt{x^{3}-1}$. có nghĩa. đk là $x^{3}-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$

Ta giải phương trình

                                             $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

đặt $y=x-1; t=x^{2}+x+1$

Xét $ t=x^{2}+x+1$ có $\Delta =1^{2}-4.1.1=-3< 0\Rightarrow t> 0$

Phương trình  $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$$\Leftrightarrow 3y+2t=7\sqrt{yt}\Leftrightarrow (3y+2t)^{2}=(7\sqrt{yt})^{2}\Leftrightarrow 9y^{2}+12yt+4t^{2}=49yt\Leftrightarrow 9y^{2}-37xy+4t^{2}=0\Leftrightarrow (9t-y)(y-4t)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=9y & \\ t=\frac{1}{4}y& \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+x+1=9x-9 & \\ x^{2}+x+1=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} & \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

Thử lại : với $x=4-\sqrt{6}$ ta có VT=VP

               với $x=4+\sqrt{6}$ ta có VT=VP

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ hoặc $x=4+\sqrt{6}$

 

   d =10

   S =47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:35


#44 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 13-04-2014 - 08:29

$SBD:\boxed{MSS48}$

 

MỞ RỘNG 1:  Giải phương trình: $5x^2+2x+10=7\sqrt{x^4+4}$

 

ĐK: $x\in \mathbb{R}$

$PT\Leftrightarrow 2(x^2-2x+2)+3(x^2+2x+2)=7\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

 

Đặt $a=\sqrt{x^2-2x+2};b=\sqrt{x^2+2x+2}(a;b>0)\Rightarrow 2a^2-7ab+3b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=3b & \\ 2a=b & \end{bmatrix}$

 

$TH1:a=3b\Rightarrow x^2-2x+2=9(x^2+2x+2)\Leftrightarrow 8x^2+20x+16=0$ (vô nghiệm vì $\Delta =-112<0)$

$TH2:2a=b\Leftrightarrow 4(x^2-2x+2)=(x^2+2x+2)\Leftrightarrow 3x^2-10x+6$$\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$ (thoả mãn)

         

            Vậy $S=\left \{ \frac{5\pm \sqrt{7}}{3} \right \}$

 

   d =10

   S =47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:36


#45 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:DOTA VIỆT NAM
  • Sở thích:TRÙM DOTA VIỆT NAM :O

Đã gửi 13-04-2014 - 17:29

Xét điều kiện x> hoặc =1

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt[3]{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt[3]{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ ta có$2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow 2a^{2}-6ab-(ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow 2a(a-3b)-b(a-3b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0$

vậy a=3b hoặc 2a=b

với a=3b khi đó ta có :

$x^{2}+x+1=9(x-1)\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Với 2a=b khi đó ta có 

$4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$ vậy phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$



#46 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:09

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS42

 

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$                  (1)

$(1)\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Điều kiện : $x\geq 1$ ( vì $x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$ )

Do $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế cho $x-1$ ta được 

$\frac{2(x^{2}+x+1)}{x-1}-7\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3=0$

Đặt $\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=t$ ($t> 0$) , Phương trình trên trở thành :

$2t^{2}-7t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 \\ t=\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $t=3$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=3\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $t=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 4x^{2}+x+7=0$ ( vô nghiệm )

 

Kết Luận : Tập nghiệm của phương trình là $\left \{ 4+\sqrt{6};4-\sqrt{6} \right \}$ . 

 

  Mở rộng khá tốt

   d =10

   S =46 +10.3=76


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:38


#47 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:21

MSS 42

 

$\blacksquare$  MỞ RỘNG 1

 

Phương trình dạng : $\alpha (ax^{2}+bx+c)+\beta (dx+e)+\gamma \sqrt{(ax^{2}+bx+c)(dx+e)}=0$ ($\alpha \beta \gamma \neq 0$ )

$\bullet$ Nếu $x=\frac{-e}{d}$ thì $ax^{2}+bx+c=0$ . Dẫn đến có hệ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-e}{d} \\ ax^{2}+bx+c=0 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $x\neq \frac{-e}{d}$ ta chia cả hai vế của phương trình cho $dx+e$ ta được :

$\frac{\alpha (ax^{2}+bx+c)}{dx+e}+\beta +\delta \sqrt{\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}}=0$

Đặt $t=\sqrt{\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}}$ ($t\geq 0$ )

Phương trình trở thành $\alpha t^{2}+\delta t+\beta =0$ 

Đến đây thì tìm được $t$ sau đó thay vào tìm $x$

 



#48 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:27

MSS 42 

 

Mở rộng $2$ : Tổng Quát 

Phương trình dạng $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)+\gamma \sqrt{P(x).Q(x)}=0(\alpha \beta \gamma \neq 0)$ 

$\bullet$ Nếu $P(x)=0$ thì $Q(x)=0$ dẫn đến hệ : $\left\{\begin{matrix} P(x)=0 \\ Q(x)=0 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $P(x)\neq 0$ , ta chia cả hai vế của PT cho $P(x)$ được 

$\alpha +\beta .\frac{Q(x)}{P(x)}+\gamma .\sqrt{\frac{Q(x)}{P(x)}}=0$

Đặt $t=\sqrt{\frac{Q(x)}{P(x)}}(t\geq 0)$ . 

Phương trình trở thành $\beta t^{2}+\gamma t+\alpha =0$

Từ đó tìm $t$ rồi tìm $x$

 



#49 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:32

MSS 42

 

Mở Rộng $3$

 

Phương trình dạng $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta .(\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x).Q(x)}=0(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0)$

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$ thì $t^{2}=P(x)+Q(x)\pm 2\sqrt{P(x).Q(x)}$

Phương trình trên trở thành $\alpha t^{2}+\beta t+\gamma =0$

Tìm được $t$ rồi tìm $x$



#50 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:42

MSS 42

 

Cách giải khác :

 

ĐK $x\geq 1$ .

Đặt $u=\sqrt{x-1},v=\sqrt{x^{2}+x+1}$ , $u\geq 0,v> 0$

Khi đó $u^{2}=x-1,v^{2}=x^{2}+x+1,u^{2}v^{2}=x^{3}-1,3u^{2}+2v^{2}=2x^{2}+5x-1$

Phương trình có dạng $3u^{2}+2v^{2}=7uv\Leftrightarrow (u-2v)(3u-v)=0$

Suy ra $u=2v$ hoặc $3u=v$

$\bullet$ Với $u=2v$ thì $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+7=0$ ( PT vô nghiệm )

$\bullet$ Với $3u=v\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0$

PT này có hai nghiệm $x=4+\sqrt{6}$ và $x=4-\sqrt{6}$ ( thõa mãn)

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $\left \{ 4+\sqrt{6},4-\sqrt{6} \right \}$

 



#51 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 13-04-2014 - 19:44

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 1: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $p^2-4mn \ge 0$:

$nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=p\sqrt{x^3-y^3}$

ĐKXĐ: $x\geq y$

Đặt $\sqrt{x-y}=a;\sqrt{x^2+xy+y^2}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^3-y^3}=ab$   và   $nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-y=\frac{(x^2+xy+y^2)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-y=z(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow zx^2+(zy-1)x+y^2z+y=0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình bậc 2 ẩn x.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=1, n=2, m=3.



#52 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-04-2014 - 19:56

MSS 42 

 

Cách giải khác: (cách 3) 

 

ĐK : $x\geq 1$ 

PT tương đương : $2(x^{2}-8x+10)-7\sqrt{x^{3}-1}+21(x-1)=0$ (1)

Nhận xét $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình .

$(1)\Leftrightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7\sqrt{x-1}(\sqrt{x^{2}+x+1}-3\sqrt{x-1})=0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}-8x+10)-\frac{7\sqrt{x-1}(x^{2}-8x+10)}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-8x+10)(2-\frac{7\sqrt{x-1}}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}})=0$

$\bullet$  $x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$

$\bullet$  $2-\frac{7\sqrt{x-1}}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}}=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x-1}=0$ (2)

Do $x> 1\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}> \sqrt{x-1}$

Do đó phương trình (2) vô nghiệm 

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình $\left \{ 4+\sqrt{6},4-\sqrt{6} \right \}$



#53 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 13-04-2014 - 20:05

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 2: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $y\in \mathbb{N}^*,p^2-4mn\geq 0$:

$n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=p\sqrt{x^y-1}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^y-1}=ab$   và   $n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-1=\frac{(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-1=z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)$

$\Leftrightarrow z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(z-1)x+z+1 =0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình ẩn x theo cách thích hợp.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=3, n=2, m=3.



#54 lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trường THCS Sông Lô, Sông Lô, Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Math!!

Đã gửi 13-04-2014 - 20:54

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MỞ RỘNG: ( CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT )

Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.

Phương pháp:

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: $u^{2}+\alpha uv+\beta v^{2}=0$ (1) bằng cách

Xét $v\neq 0$ $(1)\Leftrightarrow (\frac{u}{v})^{2}+\alpha (\frac{u}{v})+\beta =0$

Xét $v=0$ thử trực tiếp . Các trường hợp sau cũng được đưa về (1):

$a.A(x)+b.B(x)=c\sqrt{A(x).B(x)}$

$\alpha u+\beta v=\sqrt{mu^{2}+nv^{2}}$

Chúng ta hãy thay các biểu thức $A(x),B(x)$bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng: $a.A(x)+b.B(x)=c\sqrt{A(x).B(x)}$

Như vậy phương trình $Q(x)=\alpha \sqrt{P(x)}$. Có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{\begin{matrix} P(X)=A(x).B(x) & \\ Q(x)=a A(x)+b.B(x)& \end{matrix}\right.$

Xuất phát từ các hằng đẳng thức :

$x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1) ; x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1) ; x^{4}+1=(x^{2}-\sqrt{2}x+1)(x^{2}+\sqrt{2}x+1) ; 4x^{4}+1=(2x^{2}-2x+1)(2x^{2}+2x+1)$

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên .Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $at^{2}+bt-c=0$, giải ''nghiệm đẹp''

b).Phương trình dạng $\alpha u+\beta v=\sqrt{mu^{2}+nv^{2}}$

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên



#55 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 13-04-2014 - 21:00

$SBD:\boxed{MSS48}$

 

MỞ RỘNG 2: 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3y^2=y^2+1 & \\ xy(2x+5)=y+7 & \end{matrix}\right.$

$y=0$ không phải là nghiệm HPT

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-1=\frac{1}{y^2}(1) & \\ 2x^2+5x-1=\frac{7}{y} (2)& \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Rightarrow \frac{1}{y}=\pm \sqrt{x^3-1}$ $(x\geq 1)$

$TH1:y>0\Rightarrow \frac{1}{y}=\sqrt{x^3-1}$

Kết hợp $PT(2)\Rightarrow 2x^2-5x+1=7\sqrt{x^3-1}$

Theo bài trên thì $\begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \Rightarrow y=\frac{3-\sqrt{6}}{9}& \\ x=4-\sqrt{6}\Rightarrow y=\frac{3+\sqrt{6}}{9} & \end{bmatrix}$ 

$TH2:y<0\Rightarrow \frac{1}{y}=-\sqrt{x^3-1}\Rightarrow 2x^2+5x-1=-\sqrt{x^3-1}(*)$

Do $x\geq 1\Rightarrow VT_{(*)}\geq 2+5-1>0\geq VP_{(*)}\Rightarrow PT(*)$ vô nghiệm

 

Vậy $(x;y)=\left ( 4+\sqrt{6};\frac{3-\sqrt{6}}{9} \right );\left ( 4-\sqrt{6} ;\frac{3+\sqrt{6}}{9}\right )$



#56 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 13-04-2014 - 22:17

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1} \qquad (1)$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS015.

Lời giải. Điều kiện $x \ge 1$. Ta có $(1) \Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7 \sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$.

Đặt $\sqrt{x-1}=a, \sqrt{x^2+x+1}=b$ thì phương trình trở thành $2b^2+3a^2=7ab \Leftrightarrow (2b-a)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a=b \\ 3b=a \end{array} \right.$

 

Nếu $2b=a$ hay $2\sqrt{x^2+x+1}= \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$, phương trình vô nghiệm vì $\Delta=3^2-4 \cdot 4 \cdot 5<0$.

Nếu $3a=b$ hay $3 \sqrt{x-1}= \sqrt{x^2+x+1} \Leftrightarrow x^2-8x+10=0 \Leftrightarrow (x-4-\sqrt 6)(x-4+ \sqrt 6)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=4+ \sqrt 6 \\ x-4- \sqrt 6 \end{array} \right.$

Vì $4- \sqrt 6>1$ nên nghiệm thoả mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S= \{ 4+ \sqrt 6, 4- \sqrt 6 \}$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#57 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 13-04-2014 - 22:36

Mở rộng của MSS 13:buiminhhieu:

Mở rộng 1:

Đề bài :

Giải phương trình:

$2x^{3}=(x^{2}-x-1)\sqrt{x+1}$$(1)$

Bài giải:

Nhận thấy $x=-1$ không là nghiệm của phương trình$(1)$

Điều kiện:$x>-1$

Đặt $t=\sqrt{x+1}(t>0)$ ta có :

$(1)\Leftrightarrow 2x^{3}=(3x^{2}-t^{2})t\Leftrightarrow 2x^{3}-3tx^{2}+t^{3}=0$

$\Leftrightarrow (x-t)^{2}(2x+t)=0$

TH1)$x=t$ thi $x=\sqrt{x+1}(x>0)\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

TH2)$-2x=t$($x<0$$-2x=\sqrt{x+1}\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$

Vậy ...


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#58 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 13-04-2014 - 22:43

Mở rộng MSS 13:buiminhhieu:

 

Mở rộng 2:

Bài toán ;

Giải PT:

$2\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{8+2x-x^{2}}=x$$(1)$

Giải:

ĐK:$-2\leq x\leq 4$

Ta có $(1)$ tương đương:

$2\sqrt{x^{2}+3}=\sqrt{8+2x-x^{2}}+x=\sqrt{9-(x-1)^{2}}+x\leq x+3$$(2)$

Mặt khác:

$4(x^{2}+3)-(x+3)^{2}=3(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+3}\geq x+3$$(2)$

Từ (2) và(3) ta được $x=1$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#59 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 14-04-2014 - 20:35

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#60 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 14-04-2014 - 20:51

 

BÀI LÀM CỦA TOÁN THỦ MSS17

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

ĐKXĐ: $x\geqslant 1$

Phương trình trên $\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$ (1)

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b$, (1) trở thành:

$3a^2+2b^2=7ab$
$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0$
$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $3a=b$

     +) Nếu $a=2b$ ta có: $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$
         $\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$
         $\Leftrightarrow \left ( x+\frac{3}{8} \right )^2+\frac{71}{64}=0$ (vô lí)
     +) Nếu $3a=b$ ta có: $3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$
         $\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$
         $\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$
         $\Leftrightarrow (x-4)^2=6$
         $\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4\pm \sqrt{6} \right \}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$

 

 

 

Bài dự thi trận $7$ của $MSS 27$

 

Điều kiện: $x \geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ và $\sqrt{x^2+x+1}=b$.

 

Vậy: $3a^2+2b^2=2x^2+5x-1=VT$

 

Phương trình đầu tương đương:

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=2b\\ 3a=b\end{bmatrix}$

 

Với $a=2b$, ta có phương trình:

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

 

$\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0 (1)$

 

$\Delta =9-4.4.5=-71<0$

 

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm.

 

Với $3a=b$, ta có phương trình:

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0 (2)$

 

$\Delta'=16-1.10=6>0$ 

 

Vậy phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

 

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6}\\ x_{1}=\dfrac{4-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

 

Kết hợp điều kiện và nhận cả hai nghiệm.

 

 

Kết luận: Phương trình đầu có hai nghiệm $S={4+\sqrt{6};4-\sqrt{6}}$

 

 

 

SBD: MSS 57

Trước hết ta sẽ tìm điều kiện để căn thức $\sqrt{x^{3}-1}$. có nghĩa. đk là $x^{3}-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$

Ta giải phương trình

                                             $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

đặt $y=x-1; t=x^{2}+x+1$

Xét $ t=x^{2}+x+1$ có $\Delta =1^{2}-4.1.1=-3< 0\Rightarrow t> 0$

Phương trình  $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$$\Leftrightarrow 3y+2t=7\sqrt{yt}\Leftrightarrow (3y+2t)^{2}=(7\sqrt{yt})^{2}\Leftrightarrow 9y^{2}+12yt+4t^{2}=49yt\Leftrightarrow 9y^{2}-37xy+4t^{2}=0\Leftrightarrow (9t-y)(y-4t)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=9y & \\ t=\frac{1}{4}y& \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+x+1=9x-9 & \\ x^{2}+x+1=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} & \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

Thử lại : với $x=4-\sqrt{6}$ ta có VT=VP

               với $x=4+\sqrt{6}$ ta có VT=VP

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ hoặc $x=4+\sqrt{6}$

 

Các bài trên thiếu điều kiện của $a,b$

Xét điều kiện x> hoặc =1

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt[3]{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt[3]{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ ta có$2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow 2a^{2}-6ab-(ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow 2a(a-3b)-b(a-3b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0$

vậy a=3b hoặc 2a=b

với a=3b khi đó ta có :

$x^{2}+x+1=9(x-1)\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Với 2a=b khi đó ta có 

$4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$ vậy phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Chỗ màu đỏ tính thiếu nghiệm ,điều kiện $a,b$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh