Chủ đề này có 64 trả lời

[Tran Nguyen Lan 1107]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$

 

     d =10

     S =17+10.3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:23

[Super Fields]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài dự thi trận $7$ của $MSS 27$

 

Điều kiện: $x \geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ và $\sqrt{x^2+x+1}=b$.

 

Vậy: $3a^2+2b^2=2x^2+5x-1=VT$

 

Phương trình đầu tương đương:

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=2b\\ 3a=b\end{bmatrix}$

 

Với $a=2b$, ta có phương trình:

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

 

$\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0 (1)$

 

$\Delta =9-4.4.5=-71<0$

 

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm.

 

Với $3a=b$, ta có phương trình:

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0 (2)$

 

$\Delta'=16-1.10=6>0$ 

 

Vậy phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

 

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6}\\ x_{1}=\dfrac{4-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

 

Kết hợp điều kiện và nhận cả hai nghiệm.

 

 

Kết luận: Phương trình đầu có hai nghiệm $S={4+\sqrt{6};4-\sqrt{6}}$

 

 

     d =10

     S =17+10.3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:23

[Tran Nguyen Lan 1107]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$

[DarkBlood]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

Phương trình đã cho trở thành

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

 

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

$\Leftrightarrow 4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

 

      d =10

      S =17+10.3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24

[buiminhhieu]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS 13:buiminhhieu:

ĐK:$x\geq 1$

Ta có  Phương trình đã cho tương đương:

$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^{2}+x+1}=b;(a\geq 0;b>0)$

Khi đó Phương trình trở thành :

$2b^{2}+3a^{2}=7ab\Leftrightarrow (2b-a)(b-3a)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2b=a(I) & \\ b=3a(II) & \end{bmatrix}$

TH1)$(I)2b=a\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x-1}\Rightarrow 4x^{2}+4x+4=x-1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(Loại vì $\Delta =-71<0$)

TH2)$(II)b=3a\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}=3\sqrt{x-1}\Rightarrow x^{2}+x+1=9x-9$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Rightarrow (x-4)^{2}=6$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$(Thử lại thỏa mãn )

Vậy nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4-\sqrt{6};4+\sqrt{6} \right \}$

 

 

    d =10

    S =17+10.3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24

[lovemathforever99]

Mở rộng (MSS 52): (làm lại, Bổ sung MR ở trên)

 

Phương trình dạng:     $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Đến đây, đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$.

 

PT ban đầu trở thành :

 

$a.A_{(x)}+b.B_{(x)}=c\sqrt{A_{x}.B_{x}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

• $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.
• $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$a.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-c\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+b=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$

 

PT$\Leftrightarrow at^{2}-ct+b=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

[letankhang]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS07 :

ĐKXĐ : $x^{3}-1\geq 0\Rightarrow x\geq 1$
Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm của phương trình 
$x> 1\Rightarrow \sqrt{x^{3}-1}+x-1> 0$
Ta có :
$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)+21x-21-7\sqrt{x^3-1}=0\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7.\frac{x^{3}-1-9(x-1)^{2}}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0\Rightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7.\frac{(x-1)(x^2-8x+10)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0\Rightarrow (x^{2}-8x+10)(2-\frac{7(x-1)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)})=0$
Xét :
- Trường hợp 1 : $x^{2}-8x+10=0\Rightarrow (x-4)^{2}-6=0\Rightarrow (x-4+\sqrt{6})(x-4-\sqrt{6})=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6} & \end{bmatrix}$
Thử lại thì cả 2 nghiệm trên đều thỏa
- Trường hợp 2 : $2-\frac{7(x-1)}{\sqrt{x^3-1}+3(x-1)}=0$
$\Rightarrow 2-\frac{7}{\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}}+3}=0$
Đặt : $\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=y\Rightarrow yx-y=x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}+x(1-y)+1+y=0\Rightarrow \Delta =(1-y)^{2}-4(y+1)\geq 0\Rightarrow y^{2}-2y+1-4y-4\geq 0\Rightarrow y^{2}-6y-3\geq 0$
Mặt khác ta lại có : $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+1> 0 & \\ x-1> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow y> 0$
$y^{2}-6y-3\geq 0\Rightarrow y\geq 3+2\sqrt{3}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3\geq \sqrt{3+2\sqrt{3}}+3\Rightarrow 2-\frac{7}{\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3}> 0$
Suy ra phương trình ở trường hợp 2 vô nghiệm 
Vậy phương trình có 2 nghiệm :
$S\in \left \{ 4+\sqrt{6};4-\sqrt{6} \right \}$

 

    d =10

   S =17+10.3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:24

[lovemathforever99]

Mở rộng (MSS 52):

 

Phương trình dạng:     $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

$\Leftrightarrow ax^{2}+bx+c=(\alpha .m+\beta m')x^{2}+(\alpha .n+\beta .n')x+\alpha .p+\beta .p'$

 

Đến đây, đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$.

 

PT ban đầu trở thành :

 

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{x}.B_{x}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$a.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+b=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$

 

PT$\Leftrightarrow at^{2}-dt+b=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 

[DarkBlood]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}}\ (\star)$

Đề thi của l4lzTeoz

Bài làm của MSS10: Em xin gửi lại bài làm

Cách 1:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\ \sqrt{x^2+x+1}=b.$ $(a\geq 0, b>0)$

 

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 3a^2+2b^2=3x-3+2x^2+2x+2=2x^2+5x-1\\ ab=\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}=\sqrt{x^3-1} \end{matrix}\right.$

 

Phương trình đã cho trở thành

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-2b)=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3a=b\\ a=2b \end{bmatrix}$

 

 

Nếu $3a=b,$ ta có phương trình

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

 

Nếu $a=2b,$ ta có phương trình

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

 

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

 

Cách 2:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Ta có

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Rightarrow (2x^2+5x-1)^2-49(x^3-1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0\\ 4x^2+3x+5=0 \end{bmatrix}$

 

Trường hợp 1: 

$x^2-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4\pm\sqrt{6}\ (\textrm{TM})$

 

 

 

Trường hợp 2:

$4x^2+3x+5=0$ $($phương trình vô nghiệm vì $\Delta =-71<0)$

 

Vậy tập nghiệm của phương trình $(\star)$ là

$\boxed{S=\left \{ 4+\sqrt{6}\ ;\ 4+\sqrt{6} \right \}}$

 

  Hoan nghênh giải nhiều cách nhưng điểm vẫn vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26

[Kaito Kuroba]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

 

Mình không phải là toán thủ thi đấu

ĐK: $x\geq 1$

phương trình đã cho tương đương với:

$3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}=a & \\ \sqrt{x^2+x+1}=b& \end{matrix}\right.(a,b\geq 0)$

pttt: $3a^2+2b^2-7ab=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2b & \\ a=\frac{b}{3}& \end{bmatrix}$

• $a=2b$ $\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow x-1=4(x^2+x+1)\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$ (VN)
• $a=\frac{b}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow 9(x-1)=x^2+x+1\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4-\sqrt{6} & \\ x=4+\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

thử lại ta thấy 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK và phương trình. Vậy pt có 2 nghiệm

[Super Fields]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Mở rộng trận $7$ của $MSS 27$

 

giải phương trình tổng quát có dạng:

 

$ax^2+bx+c=k\sqrt{(dx+e)(qx^2+ux+v)}$

 

Trong đó $a$ là số hữu tỉ, $b,c,k,d,e,q,u,v$ tùy ý

 

Giải:

 

Gọi $dx+e=f_{x}$ và $qx^2+ux+v=g_{x}$

 

Ta được phương trình đầu viết lại:

 

$$ax^2+bx+c=k\sqrt{f_{x}.g_{x}}(1)$$

 

Tách vế trái:

 

$ax^2+bx+c=\alpha f_{x}+\beta g_{x}$

 

$\begin{bmatrix} \alpha =a;\alpha +\beta =b;\beta e+\alpha v=c\\ \beta =a;\alpha +\beta =b;\alpha e+\beta v=c\end{bmatrix}$

 

Giải và tìm $\alpha;\beta$

 

Tiếp tục đặt 

 

$\sqrt{f_{x}}=m;\sqrt{g_{x}}=n(m;n>0)\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \alpha m^2+\beta n^2=kmn$

 

Biện luận $n=0$ (nếu có thể), tìm nghiệm

 

$n\neq 0\Rightarrow$ chia hai vế cho $n^2$, ta được

 

$\alpha \frac{m^2}{n^2}-k\frac{m}{n}+\beta=0$

 

Đặt $\frac{m}{n}=t$, ta lại được:

 

$\alpha t^2-kt+\beta=0$

 

Từ đó giải phương trình bậc hai tìm $t$ và dễ dàng tìm được $x$

[angleofdarkness]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1} (1)$

Đề thi của l4lzTeoz

 

MSS54:

 

ĐKXĐ: $\forall x \in \mathbb{R}; x \geq 1$

 

Ta có pt: $(1) \Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x - 1)(x^2+ x + 1)}$

 

- Xét x = 1 thì (1) trở thành: $2.1^2+5.1-1=7\sqrt{1^3-1} \\ \Leftrightarrow 6=0$

 

Điều này vô lí $\Rightarrow$ x = 1 không là nghiệm của (1).

 

- Xét $x \neq 1$ thì (1) $\Leftrightarrow 3+\dfrac{2(x^2+x+1)}{x-1}= 7\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}} (2)$

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=t (t \geq 0)$ thì (2) trở thành: $3+2t^2=7t \\ \Leftrightarrow 2t^2-6t-t+3=0 \\ \Leftrightarrow (t-3)(2t-1)=0 \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=3 & \\ t=\dfrac{1}{2} & \end{bmatrix}$

 

(thỏa mãn đk: $t \geq 0$)

 

$\bigstar t=3$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=3 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=9 \\ \Leftrightarrow x^2-8x+10=0(3)$

 

(3) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta '=(-4)^2-1.10=6>0$ nên (3) có 2 nghiệm phân biệt: 

 

$\begin{bmatrix} x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6} & \\ x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6} & \end{bmatrix}$

 

(thỏa mãn ĐKXĐ và $x \neq 1$)

 

$\bigstar t=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=\dfrac{1}{4} \\ \Leftrightarrow x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}=0(4)$

(4) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta=(\dfrac{3}{4})^2-4.1.\dfrac{5}{4}=\dfrac{-71}{16}<0$ nên (4) vô nghiệm.

 

Như vậy pt (1) có tập nghiệm $S=\left \{4 \pm \sqrt{6} \right \}$

 

   d =10

   S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26

[huukhangvn]

MMS:53

 

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$*

Đề thi của l4lzTeoz

Phương trình <=>$(2x^2+5x-1)^{2}=(7\sqrt{x^{3}-1})^{2}$

                       <=>$4x^{4}+20x^{3}+21x^{2}-10x+1=49x^{3}-49$

                       <=>$4x^{4}-29x^{3}+21x^{2}-10x+50=0$

                       <=>$(4x^{4}+3x^{3}+5x^{2})+(-32x^{3}-24x^{2}-40x)+(40x^{2}+30x+50)=0$

                       <=>$(4x^{2}+3x+5)(x^{2}-8x+10)=0$

=>$4x^{2}+3x+5=0$ hoặc $x^{2}-8x+10=0$

* TH1: $4x^{2}+3x+5=0$

Ta có: $\Delta =3^{2}-4.4.5$=-71$< 0$ 

=> phương trình vô nghiệm 

*TH2: $x^{2}-8x+10=0$

$\Delta =(-8)^{2}-10.4$=24

x₁=$\frac{\sqrt{24}+8}{2}=\sqrt{6}+4$

x₂=$\frac{8-\sqrt{24}}{2}=4-\sqrt{6}$

Tóm lại :phương trình (*) có 2 nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ và $x=4+\sqrt{6}$

                         

     d=10

     S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:26

[Simpson Joe Donald]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐK: $x\geq 1$
Phương trình đã cho tương đương với: $$2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$$
Đặt $u=\sqrt{x^{2}+x+1},v=\sqrt{x-1}; \ u,v\ge 0 $ suy ra:

$$2u^{2}+3v^{2}=7uv \iff  (u-3v)(2u-v)=0 \\ \iff \begin{bmatrix} u=3v \\ 2u=v \end{bmatrix}  \iff \begin{bmatrix} \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1} \\ 2\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x-1} \end{bmatrix} \\ \iff \begin{bmatrix} x^2-8x+10=0 \\ 4x^2+3x+5=0 (VN)\end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} x=4- \sqrt{6} \\ x=4+ \sqrt{6} \end{bmatrix}$$

Vậy Tập nghiệm của phương trình là: $S=\{ 4 \pm \sqrt{6} \}$

[Simpson Joe Donald]

Mở rộng:  Giải phương trình: $a. A(x)+b.B(x)=c.\sqrt{A(x).B(x)}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}; \ A(x), \ B(x)$ là các đa thức.

Giải: Đặt $\begin{cases}\sqrt{A(x)}=m\ge 0\\\sqrt{B(x)}=n\ge 0\end{cases}$. Phương trình có dạng:

$$am^2+bn^2=cmn \ \ (*)$$

Nhận thấy $n=0$ không là nghiệm của phương trình , chia cả 2 vế phương trình $(*)$ cho $n^2\neq 0$ ta được:

$$a.\dfrac{m^2}{n^2}-c.\dfrac{m}{n}+b=0\iff at^2-ct+b=0\left(t=\dfrac{m}{n}\right) \implies t=\dfrac{c\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Tìm được $t$ thay vào tìm tỉ số $m,n$ rồi tìm ra x. 

 

[Simpson Joe Donald]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Cách 2:    ĐK: $x\ge 1$, bình phương 2 vế :

$$(2x^{2}+5x-1)^2=(7\sqrt{x^{3}-1})^2 \\ \iff 4x^4-29x^3+21x^2-10x+50=0 \\ \iff (x^2-8x+10)(4x^2+3x+5)=0 \\  \implies x=4\pm \sqrt{6}$$

[Trang Luong]

Mở rộng 2:

Cho $m,n>0;p\geq q\geq 0$. Giải phương trình : 

$\left ( mn+1 \right )\sqrt{p^x-q^x}=n\left ( p-q \right )+m\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$ Với $x\geq 1$

Bài giải : Ta thấy : $p^x-q^x=\left ( p-q \right )\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$

Đặt $\left ( p-q \right )=u,\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )=v$

Thao vào PT ban đầu $\Rightarrow nu^2+mv^2-(mn+1)uv=0\Leftrightarrow \left ( nu-v \right )\left ( u-mv \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} nu-v=0\\ u-mv=0 \end{bmatrix}$

Ta xét các trường hợp : 

[lovemathforever99]

Mở rộng 1(MSS 52):

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$ ($a,b,c,d$ là các số thực)

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$\alpha.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+\beta=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$ ($t\geq 0$)

 

PT$\Leftrightarrow \alpha.t^{2}-dt+\beta=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 

 

Mở rộng 2:

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Ta cũng tiếp tục tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Bình phương 2 vế của PT: 

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).A_{(x)}^{2}+2\alpha \beta. A_{(x)}.B_{(x)}+(\beta ^{2}-d^{2}n)B^{2}_{(x)}=0$

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).(\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}})^{2}+2\alpha \beta. \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

Đặt $\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}=t$ ($t$ thuộc R)

PT$\Leftrightarrow (\alpha ^{2}-d^{2}m)t^{2}+2\alpha \beta.t+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

 

Giải PT tìm $t,x$.

[lovemathforever99]

Mở rộng 1(MSS 52):

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$ ($a,b,c,d$ là các số thực)

 

Với những PT mà ở căn thức có thể phân tích thành 2 biểu thức $A_{(x)}$,$B_{x}$ thì ta đi tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{A_{(x)}.B_{(x)}}$

 

Việc còn lại là GPT trên.

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành 

$\alpha.\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}-d\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}+\beta=0$

 

Đặt $\sqrt{\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}}=t$ ($t\geq 0$)

 

PT$\Leftrightarrow \alpha.t^{2}-dt+\beta=0$

 

Giải PT tìm $t,x$

 

 

Mở rộng 2:

 

Phương trình dạng:   $ax^{2}+bx+c=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Ta cũng tiếp tục tìm hệ số $\alpha ,\beta$ để:

 

$ax^{2}+bx+c=\alpha .A_{(x)}+\beta .B_{(x)}$

 

Với $A_{(x)}=mx^{2}+nx+p;B_{(x)}=m'x^{2}+n'x+p'$

$\Rightarrow ax^{2}+bx+c=\alpha. (mx^{2}+nx+p)+\beta .(m'x^{2}+n'x+p')$

 

Đồng nhất hệ số tìm $\alpha ,\beta$: $a=\alpha m+\beta m';b=\alpha n+\beta n';c=\alpha p+\beta p'$

 

PT ban đầu trở thành :

$\alpha.A_{(x)}+\beta.B_{(x)}=d\sqrt{m.A^{2}_{(x)}+n.B^{2}_{(x)}}$

 

Bình phương 2 vế của PT: 

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).A_{(x)}^{2}+2\alpha \beta. A_{(x)}.B_{(x)}+(\beta ^{2}-d^{2}n)B^{2}_{(x)}=0$

 

Xét:

§             $B_{(x)}=0$, thử trực tiếp.

§             $B_{(x)}\neq 0$. Chia 2 vế cho $B_{(x)}$. PT trở thành

$(\alpha ^{2}-d^{2}m).(\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}})^{2}+2\alpha \beta. \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

Đặt $\frac{A_{(x)}}{B_{(x)}}=t$ ($t$ thuộc R)

PT$\Leftrightarrow (\alpha ^{2}-d^{2}m)t^{2}+2\alpha \beta.t+(\beta ^{2}-d^{2}n)=0$

 

Giải PT tìm $t,x$.

[eatchuoi19999]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

BÀI LÀM CỦA TOÁN THỦ MSS17

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

ĐKXĐ: $x\geqslant 1$

Phương trình trên $\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$ (1)

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b$, (1) trở thành:

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0$

$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $3a=b$

     +) Nếu $a=2b$ ta có: $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

         $\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$

         $\Leftrightarrow \left ( x+\frac{3}{8} \right )^2+\frac{71}{64}=0$ (vô lí)

     +) Nếu $3a=b$ ta có: $3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

         $\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$

         $\Leftrightarrow (x-4)^2=6$

         $\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4\pm \sqrt{6} \right \}$

 

   d =10

   S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:27