Chủ đề này có 64 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

ĐKXĐ: $x\geq 1$
$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a(a> 0),\sqrt{x-1}=b(b\geq 0)$

PT trở thành: $2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow (2a^{2}-ab)-(6ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow a(2a-b)-3b(2a-b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=3b \\ 2a=b \end{bmatrix}$

* Với a=3b.

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x+1}=3\sqrt{x-1}(x\geq 1)\Leftrightarrow x^{2}+x+1=9x-9\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow (x-4-\sqrt{6})(x-4+\sqrt{6})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$
2 giá trị trên của x đều thỏa mãn ĐKXĐ.
* Với 2a=b.
$\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x-1}(x\geq 1)\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0(*)$
PT(*) vô nghiệm vì $\Delta _{(*)}=9-80=-71<0.$
Vậy S={$4-\sqrt{6};4+\sqrt{6}$}.

[Yagami Raito]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(1)$

Đề thi của l4lzTeoz

 

Bài làm của toán thủ MSS 004

 

ĐKXĐ:  $x \geq 1$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{x^2+x+1}.\sqrt{x-1}$ (Do $x \geq 1$ nên $\sqrt{x^3-1}=\sqrt{x^2+x+1}.\sqrt{x-1}$)

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+x+1} &=u & \\ \sqrt{x-1} &=v & \end{matrix}\right.(u>0;v \geq 0)$ ta có phương trình $2u^2+3v^2=7uv$

$\Leftrightarrow (u-3v)(2u-v)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} u=3v & & \\ u=\dfrac{v}{2} & & \end{bmatrix}$

 

Với $u=3v$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x^2+x+1=9x-9\\\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$(t/m dk)

 

Với $u=\dfrac{v}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 4(x^2+x+1)=x-1 \Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$ (Vô nghiệm do $\Delta=-71$)

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm  là $\boxed{x=4\pm \sqrt 6}$

 

(P/s:\ T.T \BQT có giải nào trao cho người giải chậm không ạ...)

 

   Giải thì không có nhưng điểm thì có:

  d =10

  S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:35

[lethanhson2703]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

SBD: MSS 57

Trước hết ta sẽ tìm điều kiện để căn thức $\sqrt{x^{3}-1}$. có nghĩa. đk là $x^{3}-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$

Ta giải phương trình

                                             $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

đặt $y=x-1; t=x^{2}+x+1$

Xét $ t=x^{2}+x+1$ có $\Delta =1^{2}-4.1.1=-3< 0\Rightarrow t> 0$

Phương trình  $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$$\Leftrightarrow 3y+2t=7\sqrt{yt}\Leftrightarrow (3y+2t)^{2}=(7\sqrt{yt})^{2}\Leftrightarrow 9y^{2}+12yt+4t^{2}=49yt\Leftrightarrow 9y^{2}-37xy+4t^{2}=0\Leftrightarrow (9t-y)(y-4t)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=9y & \\ t=\frac{1}{4}y& \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+x+1=9x-9 & \\ x^{2}+x+1=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} & \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

Thử lại : với $x=4-\sqrt{6}$ ta có VT=VP

               với $x=4+\sqrt{6}$ ta có VT=VP

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ hoặc $x=4+\sqrt{6}$

 

   d =10

   S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:35

[phuocdinh1999]

$SBD:\boxed{MSS48}$

 

MỞ RỘNG 1:  Giải phương trình: $5x^2+2x+10=7\sqrt{x^4+4}$

 

ĐK: $x\in \mathbb{R}$

$PT\Leftrightarrow 2(x^2-2x+2)+3(x^2+2x+2)=7\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

 

Đặt $a=\sqrt{x^2-2x+2};b=\sqrt{x^2+2x+2}(a;b>0)\Rightarrow 2a^2-7ab+3b^2=0$

$\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=3b & \\ 2a=b & \end{bmatrix}$

 

$TH1:a=3b\Rightarrow x^2-2x+2=9(x^2+2x+2)\Leftrightarrow 8x^2+20x+16=0$ (vô nghiệm vì $\Delta =-112<0)$

$TH2:2a=b\Leftrightarrow 4(x^2-2x+2)=(x^2+2x+2)\Leftrightarrow 3x^2-10x+6$$\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$ (thoả mãn)

         

            Vậy $S=\left \{ \frac{5\pm \sqrt{7}}{3} \right \}$

 

   d =10

   S =47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:36

[anhtukhon1]

Xét điều kiện x> hoặc =1

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt[3]{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt[3]{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ ta có$2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow 2a^{2}-6ab-(ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow 2a(a-3b)-b(a-3b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0$

vậy a=3b hoặc 2a=b

với a=3b khi đó ta có :

$x^{2}+x+1=9(x-1)\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Với 2a=b khi đó ta có 

$4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$ vậy phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

[Rias Gremory]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS42

 

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$                  (1)

$(1)\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Điều kiện : $x\geq 1$ ( vì $x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$ )

Do $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế cho $x-1$ ta được 

$\frac{2(x^{2}+x+1)}{x-1}-7\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}+3=0$

Đặt $\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=t$ ($t> 0$) , Phương trình trên trở thành :

$2t^{2}-7t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3 \\ t=\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $t=3$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=3\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$

$\blacksquare$ $t=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{x-1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 4x^{2}+x+7=0$ ( vô nghiệm )

 

Kết Luận : Tập nghiệm của phương trình là $\left \{ 4+\sqrt{6};4-\sqrt{6} \right \}$ . 

 

  Mở rộng khá tốt

   d =10

   S =46 +10.3=76

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 07-05-2014 - 15:38

[Rias Gremory]

MSS 42

 

$\blacksquare$  MỞ RỘNG 1 : ​

 

Phương trình dạng : $\alpha (ax^{2}+bx+c)+\beta (dx+e)+\gamma \sqrt{(ax^{2}+bx+c)(dx+e)}=0$ ($\alpha \beta \gamma \neq 0$ )

$\bullet$ Nếu $x=\frac{-e}{d}$ thì $ax^{2}+bx+c=0$ . Dẫn đến có hệ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-e}{d} \\ ax^{2}+bx+c=0 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $x\neq \frac{-e}{d}$ ta chia cả hai vế của phương trình cho $dx+e$ ta được :

$\frac{\alpha (ax^{2}+bx+c)}{dx+e}+\beta +\delta \sqrt{\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}}=0$

Đặt $t=\sqrt{\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}}$ ($t\geq 0$ )

Phương trình trở thành $\alpha t^{2}+\delta t+\beta =0$ 

Đến đây thì tìm được $t$ sau đó thay vào tìm $x$

 

[Rias Gremory]

MSS 42 

 

Mở rộng $2$ : Tổng Quát 

Phương trình dạng $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)+\gamma \sqrt{P(x).Q(x)}=0(\alpha \beta \gamma \neq 0)$ 

$\bullet$ Nếu $P(x)=0$ thì $Q(x)=0$ dẫn đến hệ : $\left\{\begin{matrix} P(x)=0 \\ Q(x)=0 \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $P(x)\neq 0$ , ta chia cả hai vế của PT cho $P(x)$ được 

$\alpha +\beta .\frac{Q(x)}{P(x)}+\gamma .\sqrt{\frac{Q(x)}{P(x)}}=0$

Đặt $t=\sqrt{\frac{Q(x)}{P(x)}}(t\geq 0)$ . 

Phương trình trở thành $\beta t^{2}+\gamma t+\alpha =0$

Từ đó tìm $t$ rồi tìm $x$

 

[Rias Gremory]

MSS 42

 

Mở Rộng $3$ : 

 

Phương trình dạng $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta .(\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x).Q(x)}=0(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0)$

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$ thì $t^{2}=P(x)+Q(x)\pm 2\sqrt{P(x).Q(x)}$

Phương trình trên trở thành $\alpha t^{2}+\beta t+\gamma =0$

Tìm được $t$ rồi tìm $x$

[Rias Gremory]

MSS 42

 

Cách giải khác :

 

ĐK $x\geq 1$ .

Đặt $u=\sqrt{x-1},v=\sqrt{x^{2}+x+1}$ , $u\geq 0,v> 0$

Khi đó $u^{2}=x-1,v^{2}=x^{2}+x+1,u^{2}v^{2}=x^{3}-1,3u^{2}+2v^{2}=2x^{2}+5x-1$

Phương trình có dạng $3u^{2}+2v^{2}=7uv\Leftrightarrow (u-2v)(3u-v)=0$

Suy ra $u=2v$ hoặc $3u=v$

$\bullet$ Với $u=2v$ thì $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+7=0$ ( PT vô nghiệm )

$\bullet$ Với $3u=v\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0$

PT này có hai nghiệm $x=4+\sqrt{6}$ và $x=4-\sqrt{6}$ ( thõa mãn)

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $\left \{ 4+\sqrt{6},4-\sqrt{6} \right \}$

 

[Nguyen Duc Thuan]

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 1: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $p^2-4mn \ge 0$:

$nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=p\sqrt{x^3-y^3}$

ĐKXĐ: $x\geq y$

Đặt $\sqrt{x-y}=a;\sqrt{x^2+xy+y^2}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^3-y^3}=ab$   và   $nx^2+(m+ny)x+ny^2-my=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-y=\frac{(x^2+xy+y^2)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-y=z(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow zx^2+(zy-1)x+y^2z+y=0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình bậc 2 ẩn x.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=1, n=2, m=3.

[Rias Gremory]

MSS 42 

 

Cách giải khác: (cách 3) 

 

ĐK : $x\geq 1$ 

PT tương đương : $2(x^{2}-8x+10)-7\sqrt{x^{3}-1}+21(x-1)=0$ (1)

Nhận xét $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình .

$(1)\Leftrightarrow 2(x^{2}-8x+10)-7\sqrt{x-1}(\sqrt{x^{2}+x+1}-3\sqrt{x-1})=0$

$\Leftrightarrow 2(x^{2}-8x+10)-\frac{7\sqrt{x-1}(x^{2}-8x+10)}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-8x+10)(2-\frac{7\sqrt{x-1}}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}})=0$

$\bullet$  $x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$

$\bullet$  $2-\frac{7\sqrt{x-1}}{3\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{2}+x+1}}=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x-1}=0$ (2)

Do $x> 1\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+x+1}> \sqrt{x-1}$

Do đó phương trình (2) vô nghiệm 

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình $\left \{ 4+\sqrt{6},4-\sqrt{6} \right \}$

[Nguyen Duc Thuan]

MSS001 - Nguyễn Đức Thuận

 

Mở rộng 2: Giải phương trình với m, n, p, y là số cho trước, $y\in \mathbb{N}^*,p^2-4mn\geq 0$:

$n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=p\sqrt{x^y-1}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1}=b$    ( $a,b \ge 0$)

$\Rightarrow \sqrt{x^y-1}=ab$   và   $n(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(m+n)x+n-m=ma^2+nb^2$

$\Rightarrow ma^2+nb^2=pab$

$\Leftrightarrow ma^2-pba+nb^2=0$

$\Delta _a=p^2b^2-4mnb^2$

$\Rightarrow a=\frac{pb\pm \sqrt{\Delta _a}}{2m}=\frac{b(p\pm \sqrt{p^2-4mn})}{2m}$

$\Rightarrow x-1=\frac{(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}$

Đặt $\frac{(p\pm \sqrt{p^2-4mn})^2}{4m^2}=z>0$

$\Rightarrow x-1=z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x+1)$

$\Leftrightarrow z(x^{y-1}+x^{y-2}+...+x^2)+(z-1)x+z+1 =0$

 

Từ đây, ta thay các giá trị y, z cho trước và giải phương trình ẩn x theo cách thích hợp.

Bài toán MSS trận 7 là trường hợp p=7, y=3, n=2, m=3.

[lethanhson2703]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

MỞ RỘNG: ( CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT )

Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.

Phương pháp:

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: $u^{2}+\alpha uv+\beta v^{2}=0$ (1) bằng cách

Xét $v\neq 0$ $(1)\Leftrightarrow (\frac{u}{v})^{2}+\alpha (\frac{u}{v})+\beta =0$

Xét $v=0$ thử trực tiếp . Các trường hợp sau cũng được đưa về (1):

$a.A(x)+b.B(x)=c\sqrt{A(x).B(x)}$

$\alpha u+\beta v=\sqrt{mu^{2}+nv^{2}}$

Chúng ta hãy thay các biểu thức $A(x),B(x)$bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng: $a.A(x)+b.B(x)=c\sqrt{A(x).B(x)}$

Như vậy phương trình $Q(x)=\alpha \sqrt{P(x)}$. Có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{\begin{matrix} P(X)=A(x).B(x) & \\ Q(x)=a A(x)+b.B(x)& \end{matrix}\right.$

Xuất phát từ các hằng đẳng thức :

$x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1) ; x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1) ; x^{4}+1=(x^{2}-\sqrt{2}x+1)(x^{2}+\sqrt{2}x+1) ; 4x^{4}+1=(2x^{2}-2x+1)(2x^{2}+2x+1)$

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên .Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $at^{2}+bt-c=0$, giải ''nghiệm đẹp''

b).Phương trình dạng $\alpha u+\beta v=\sqrt{mu^{2}+nv^{2}}$

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên

[phuocdinh1999]

$SBD:\boxed{MSS48}$

 

MỞ RỘNG 2: 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3y^2=y^2+1 & \\ xy(2x+5)=y+7 & \end{matrix}\right.$

$y=0$ không phải là nghiệm HPT

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-1=\frac{1}{y^2}(1) & \\ 2x^2+5x-1=\frac{7}{y} (2)& \end{matrix}\right.$

$PT(1)\Rightarrow \frac{1}{y}=\pm \sqrt{x^3-1}$ $(x\geq 1)$

$TH1:y>0\Rightarrow \frac{1}{y}=\sqrt{x^3-1}$

Kết hợp $PT(2)\Rightarrow 2x^2-5x+1=7\sqrt{x^3-1}$

Theo bài trên thì $\begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} \Rightarrow y=\frac{3-\sqrt{6}}{9}& \\ x=4-\sqrt{6}\Rightarrow y=\frac{3+\sqrt{6}}{9} & \end{bmatrix}$ 

$TH2:y<0\Rightarrow \frac{1}{y}=-\sqrt{x^3-1}\Rightarrow 2x^2+5x-1=-\sqrt{x^3-1}(*)$

Do $x\geq 1\Rightarrow VT_{(*)}\geq 2+5-1>0\geq VP_{(*)}\Rightarrow PT(*)$ vô nghiệm

 

Vậy $(x;y)=\left ( 4+\sqrt{6};\frac{3-\sqrt{6}}{9} \right );\left ( 4-\sqrt{6} ;\frac{3+\sqrt{6}}{9}\right )$

[Zaraki]

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1} \qquad (1)$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS015.

Lời giải. Điều kiện $x \ge 1$. Ta có $(1) \Leftrightarrow 2(x^2+x+1)+3(x-1)=7 \sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$.

Đặt $\sqrt{x-1}=a, \sqrt{x^2+x+1}=b$ thì phương trình trở thành $2b^2+3a^2=7ab \Leftrightarrow (2b-a)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a=b \\ 3b=a \end{array} \right.$

 

Nếu $2b=a$ hay $2\sqrt{x^2+x+1}= \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$, phương trình vô nghiệm vì $\Delta=3^2-4 \cdot 4 \cdot 5<0$.

Nếu $3a=b$ hay $3 \sqrt{x-1}= \sqrt{x^2+x+1} \Leftrightarrow x^2-8x+10=0 \Leftrightarrow (x-4-\sqrt 6)(x-4+ \sqrt 6)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=4+ \sqrt 6 \\ x-4- \sqrt 6 \end{array} \right.$

Vì $4- \sqrt 6>1$ nên nghiệm thoả mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S= \{ 4+ \sqrt 6, 4- \sqrt 6 \}$.

[buiminhhieu]

Mở rộng của MSS 13:buiminhhieu:

Mở rộng 1:

Đề bài :

Giải phương trình:

$2x^{3}=(x^{2}-x-1)\sqrt{x+1}$$(1)$

Bài giải:

Nhận thấy $x=-1$ không là nghiệm của phương trình$(1)$

Điều kiện:$x>-1$

Đặt $t=\sqrt{x+1}(t>0)$ ta có :

$(1)\Leftrightarrow 2x^{3}=(3x^{2}-t^{2})t\Leftrightarrow 2x^{3}-3tx^{2}+t^{3}=0$

$\Leftrightarrow (x-t)^{2}(2x+t)=0$

TH1)$x=t$ thi $x=\sqrt{x+1}(x>0)\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

TH2)$-2x=t$($x<0$$-2x=\sqrt{x+1}\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$

Vậy ...

[buiminhhieu]

Mở rộng MSS 13:buiminhhieu:

 

Mở rộng 2:

Bài toán ;

Giải PT:

$2\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{8+2x-x^{2}}=x$$(1)$

Giải:

ĐK:$-2\leq x\leq 4$

Ta có $(1)$ tương đương:

$2\sqrt{x^{2}+3}=\sqrt{8+2x-x^{2}}+x=\sqrt{9-(x-1)^{2}}+x\leq x+3$$(2)$

Mặt khác:

$4(x^{2}+3)-(x+3)^{2}=3(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\sqrt{x^{2}+3}\geq x+3$$(2)$

Từ (2) và(3) ta được $x=1$

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[buiminhhieu]

 

BÀI LÀM CỦA TOÁN THỦ MSS17

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

ĐKXĐ: $x\geqslant 1$

Phương trình trên $\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$ (1)

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b$, (1) trở thành:

$3a^2+2b^2=7ab$

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0$

$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $3a=b$

     +) Nếu $a=2b$ ta có: $\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

         $\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$

         $\Leftrightarrow \left ( x+\frac{3}{8} \right )^2+\frac{71}{64}=0$ (vô lí)

     +) Nếu $3a=b$ ta có: $3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

         $\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

         $\Leftrightarrow x^2-8x+10=0$

         $\Leftrightarrow (x-4)^2=6$

         $\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ 4\pm \sqrt{6} \right \}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^{2}+x+1}=b$ 

Suy ra $2x^{2}+5x-1=3a^{2}+b^{2}$,$ab=\sqrt{x^{3}-1}$$3a^{2}+2b^{2}=7ab$

<=>$(a-2b)(3a-b)=0<=>a=2b hoặc a=\frac{b}{3}$

Với $a=2b =>x-1=4(x^{2}+x+1)$

<=>$4x^{2}+3x+5=0$ vô lí vì $3x^{2}+3x+3+x^{2}+2>0$

Với $3a=b$ suy ra $9(x-1)=x^{2}+x+1$ <=> $x^{2}-8x+10=0$<=> $x=4+\sqrt{6},x=4-\sqrt{6}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S={4+\sqrt{6},4-\sqrt{6}}$

 

 

 

Bài dự thi trận $7$ của $MSS 27$

 

Điều kiện: $x \geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ và $\sqrt{x^2+x+1}=b$.

 

Vậy: $3a^2+2b^2=2x^2+5x-1=VT$

 

Phương trình đầu tương đương:

 

$3a^2+2b^2=7ab$

 

$\Leftrightarrow (a-2b)(3a-b)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=2b\\ 3a=b\end{bmatrix}$

 

Với $a=2b$, ta có phương trình:

 

$\sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow x-1=4x^2+4x+4$

 

$\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0 (1)$

 

$\Delta =9-4.4.5=-71<0$

 

Vậy phương trình $(1)$ vô nghiệm.

 

Với $3a=b$, ta có phương trình:

 

$3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}$

 

$\Leftrightarrow 9x-9=x^2+x+1$

 

$\Leftrightarrow x^2-8x+10=0 (2)$

 

$\Delta'=16-1.10=6>0$ 

 

Vậy phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt:

 

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6}\\ x_{1}=\dfrac{4-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

 

Kết hợp điều kiện và nhận cả hai nghiệm.

 

 

Kết luận: Phương trình đầu có hai nghiệm $S={4+\sqrt{6};4-\sqrt{6}}$

 

 

 

SBD: MSS 57

Trước hết ta sẽ tìm điều kiện để căn thức $\sqrt{x^{3}-1}$. có nghĩa. đk là $x^{3}-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$

Ta giải phương trình

                                             $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

đặt $y=x-1; t=x^{2}+x+1$

Xét $ t=x^{2}+x+1$ có $\Delta =1^{2}-4.1.1=-3< 0\Rightarrow t> 0$

Phương trình  $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$$\Leftrightarrow 3y+2t=7\sqrt{yt}\Leftrightarrow (3y+2t)^{2}=(7\sqrt{yt})^{2}\Leftrightarrow 9y^{2}+12yt+4t^{2}=49yt\Leftrightarrow 9y^{2}-37xy+4t^{2}=0\Leftrightarrow (9t-y)(y-4t)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=9y & \\ t=\frac{1}{4}y& \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+x+1=9x-9 & \\ x^{2}+x+1=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} & \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6} & \\ x=4-\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

Thử lại : với $x=4-\sqrt{6}$ ta có VT=VP

               với $x=4+\sqrt{6}$ ta có VT=VP

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=4-\sqrt{6}$ hoặc $x=4+\sqrt{6}$

 

Các bài trên thiếu điều kiện của $a,b$

Xét điều kiện x> hoặc =1

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt[3]{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2(x^{2}+x+1)+3(x-1)=7\sqrt[3]{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$ ta có$2a^{2}+3b^{2}=7ab\Leftrightarrow 2a^{2}-6ab-(ab-3b^{2})=0\Leftrightarrow 2a(a-3b)-b(a-3b)=0\Leftrightarrow (a-3b)(2a-b)=0$

vậy a=3b hoặc 2a=b

với a=3b khi đó ta có :

$x^{2}+x+1=9(x-1)\Leftrightarrow x^{2}-8x+10=0\Leftrightarrow x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Với 2a=b khi đó ta có 

$4x^{2}+4x+4=x-1\Leftrightarrow 4x^{2}+3x+5=0$ vậy phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$

Chỗ màu đỏ tính thiếu nghiệm ,điều kiện $a,b$