Chủ đề này có 5 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của $P= (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

[Ham học toán hơn]

Gợi ý nhé :

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Ta phải  chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$

 

Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$

[Phuong Thu Quoc]

Có thể tổng quát bài toán trên thành 

Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$

Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$

trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$

[RoyalMadrid]

Gợi ý nhé :

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Ta phải  chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$

 

Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$

Bạn có thể ns rõ cách suy luận hay nhận xét để có cách làm như thế đk k?

[RoyalMadrid]

Có thể tổng quát bài toán trên thành 

Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$

Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$

trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$

Chứng minh tổng quát tn đk bạn?

[Phuong Thu Quoc]

Các bạn có thể tham khảo cách chứng minh tại http://diendantoanho...c1yfrac1zfrac1/