Chủ đề này có 1 trả lời

[ILoveMathverymuch]

Tìm số nguyên dương k sao cho phương trình 

$x^{2}+y^{2}+x+y=kxy$

có nghiệm nguyên dương (x;y)

[WhjteShadow]

Tìm số nguyên dương k sao cho phương trình 

$x^{2}+y^{2}+x+y=kxy$

có nghiệm nguyên dương (x;y)

Giả sử tồn tại $k$ để phương trình có nghiệm nguyên dương, trong đó chọn cặp nghiệm $(x_0;y_0)$ sao cho $x_0+y_0$ là nhỏ nhất.

Không mất tính tổng quát giả sử $x_0\geq y_0$

Xét phương trình bậc 2 theo $x$, $y_0$ là tham số :

$$f(x)=x^2-x.(ky_0-1)+y_0^2+y_0=0$$

Ngoài nghiệm $x_0$, phương trình còn có nghiệm $x_1=ky_0-1-x_0=\frac{y_0^2+y_0}{x_0}$

Do $ky_0-1-x_0\in \mathbb{Z}$ và $\frac{y_0^2+y_0}{x_0}>0$ nên $(x_1;y_0)$ cũng là 1 cặp nghiệm của phương trình ban đầu.

Suy ra $x_1+y_0\geq x_0+y_0\Rightarrow x_1\geq x_0\geq y_0$

Vậy $f(x)$ là phương trình bậc 2 theo $x$ hệ số dẫn đầu dương, có 2 nghiệm $x_0,x_1$ và $ x_1\geq x_0\geq y_0$ 

$\Rightarrow f(y_0)\geq 0\Rightarrow (2-k)y_0^2+2y_0\geq 0\Rightarrow (k-2)y_0\leq 2$

Mặt khác từ đề bài ta có $x^2+y^2+x+y=kxy>2xy+x+y>2xy\Rightarrow k>2\Rightarrow k\geq 3$ (AM-GM).

Vậy $k-2\leq (k-2)y_0\leq 2\Rightarrow k\leq 4\Rightarrow k=\{3;4\}$

Dễ dàng chỉ ra cả 2 trường hợp $k$ đều có $x,y$ thỏa mãn =)

Vậy $k\{3;4\}$.

P/s: Đây là PP Viète Jumping Menthod, tham khảo thêm các bài IMO 88, VMO 2004 (nếu mình nhớ không nhầm )