Chủ đề này có 2 trả lời

[ILMF]

Tìm GTNN:

A= $\sqrt{2x^{2}+2y^{2}-2x+2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+2x-2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+4x+4y+4}$

p/s: Anh, chị, bạn có thể choe biết cách thg làm khi gặp dạng tương tự ntn k ạ?

 

[Hoang Tung 126]

Tìm GTNN:

A= $\sqrt{2x^{2}+2y^{2}-2x+2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+2x-2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+4x+4y+4}$

p/s: Anh, chị, bạn có thể choe biết cách thg làm khi gặp dạng tương tự ntn k ạ?

Theo Mincopxki có :$A=\sqrt{2}(\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2})=\sqrt{2}(\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2})\geq \sqrt{2}(\sqrt{(x-\frac{1}{2}+x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2})^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2})=\sqrt{2}(\sqrt{(2x)^2+(2y)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2})$

[RainThunde]

Cách giải hình học:

$A=\sqrt{2}\left (\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right )$

$=\sqrt{2}\left (\sqrt{\left (x-\frac{1}{2}\right )^2+\left (y+\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{\left (x+\frac{1}{2}\right )^2+\left (y-\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}\right )$

 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right )$, $B\left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right )$, C(-1, -1). Ta cần tìm GTNN của $\sqrt{2}(MA+MB+MC)$.

 

Để MA + MB + MC đạt GTNN thì M phải là điểm Fermat (hay điểm Torricelli) của tam giác ABC (mình sẽ không chứng minh, các bạn có thể tham khảo Google hoặc http://en.wikipedia....ki/Fermat_point). Dễ thấy tam giác ABC nhọn nên M sẽ nằm trong tam giác. Cách dựng điểm M như sau:

- Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABC', CAB'

- Giao điểm của BB' và CC' là điểm M cần tìm.

 

Ta tính được

$C' = \left (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$, phương trình đường thẳng CC': $x-y=0$

$B' = \left (-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$, phương trình đường thẳng BB': $\left (\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )x+\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right )y+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$

 

Suy ra $M=\left (-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right )$, khi đó biểu thức A đạt GTNN là $2+\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 16-04-2014 - 02:15