Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}\leq 1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$

Theo Cauchy-Swtach có: $(\sum \sqrt{\frac{a^2}{4a^2+ab+4b^2}})^2=(\sum \sqrt{\frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)}}.\sqrt{4b^2+bc+4c^2})^2\leq (\sum (4b^2+bc+4c^2))(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)})=\frac{(8\sum a^2+\sum ab).(\sum a^2(4b^2+bc+4c^2))}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)}\leq 1< = > (8\sum a^2+\sum ab))(8\sum a^2b^2+abc(\sum a))\leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)$

Nhân ra và rút gọn ta đưa về $8abc\sum a^3+3abc(\sum ab(a+b))+8\sum a^3b^3\geq 66a^2b^2c^2$

Nhưng bđt này đúng vì theo AM-GM có:

 $8abc\sum a^3\geq 8abc.2abc=16a^2b^2c^2$

 $3abc(\sum ab(a+b))\geq 3abc.(6abc)=18a^2b^2c^2$

 $8\sum a^3b^3\geq 8.2a^2b^2c^2=16a^2b^2c^2$

Cộng vế ta có ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 12-04-2014 - 16:03


#3
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$

Cách bạn trên kĩ thuật nhưng trâu quá... =))))))))

Đầu tiên ta sẽ thu gọn lại biểu thức 1 chút :D. Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$, thì BĐT đã cho trở thành

$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq 1$$

Do các biến độc lập với nhau nên 1 cách tự nhiên ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Vasc để đánh giá

Ta có $\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

$\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Suy ra

$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq \sum \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\leq 1$$

Ta có đpcm


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Nhờ mod cho sao chép lại bài này



#5
ttpro1999

ttpro1999

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Cách bạn trên kĩ thuật nhưng trâu quá... =))))))))

Đầu tiên ta sẽ thu gọn lại biểu thức 1 chút :D. Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$, thì BĐT đã cho trở thành

$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq 1$$

Do các biến độc lập với nhau nên 1 cách tự nhiên ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Vasc để đánh giá

Ta có $\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$

$\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

Suy ra

$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq \sum \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\leq 1$$

Ta có đpcm

anh ơi em không biết BĐT Vasc , anh có thể ghi ra được không



#6
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết

Theo Cauchy-Swtach có: $(\sum \sqrt{\frac{a^2}{4a^2+ab+4b^2}})^2=(\sum \sqrt{\frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)}}.\sqrt{4b^2+bc+4c^2})^2\leq (\sum (4b^2+bc+4c^2))(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)})=\frac{(8\sum a^2+\sum ab).(\sum a^2(4b^2+bc+4c^2))}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)}\leq 1< = > (8\sum a^2+\sum ab))(8\sum a^2b^2+abc(\sum a))\leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)$

Nhân ra và rút gọn ta đưa về $8abc\sum a^3+3abc(\sum ab(a+b))+8\sum a^3b^3\geq 66a^2b^2c^2$

Nhưng bđt này đúng vì theo AM-GM có:

 $8abc\sum a^3\geq 8abc.2abc=16a^2b^2c^2$

 $3abc(\sum ab(a+b))\geq 3abc.(6abc)=18a^2b^2c^2$

 $8\sum a^3b^3\geq 8.2a^2b^2c^2=16a^2b^2c^2$

Cộng vế ta có ĐPCM

Cho mình hỏi, có cách nào rút gọn đơn giản hok bạn (như nhóm một số phần tử lại)....Ko lẽ khai triển hết tất cả rồi rút gọn ah (thấy hơi vất vả  :( )


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#7
taolawho

taolawho

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

dùng pp hoán vị BĐT rồi đồng nhất thức giải ra liền



#8
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Đề nghị mod cho sao chép lại bài này



#9
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

anh ơi em không biết BĐT Vasc , anh có thể ghi ra được không

 

đây là 1 chuyên đề nhỏ về BĐT Vasc ( Internet ) 

 

khá là hay . 

File gửi kèm


          

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh