Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$
Theo Cauchy-Swtach có: $(\sum \sqrt{\frac{a^2}{4a^2+ab+4b^2}})^2=(\sum \sqrt{\frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)}}.\sqrt{4b^2+bc+4c^2})^2\leq (\sum (4b^2+bc+4c^2))(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)})=\frac{(8\sum a^2+\sum ab).(\sum a^2(4b^2+bc+4c^2))}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)}\leq 1< = > (8\sum a^2+\sum ab))(8\sum a^2b^2+abc(\sum a))\leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)$
Nhân ra và rút gọn ta đưa về $8abc\sum a^3+3abc(\sum ab(a+b))+8\sum a^3b^3\geq 66a^2b^2c^2$
Nhưng bđt này đúng vì theo AM-GM có:
$8abc\sum a^3\geq 8abc.2abc=16a^2b^2c^2$
$3abc(\sum ab(a+b))\geq 3abc.(6abc)=18a^2b^2c^2$
$8\sum a^3b^3\geq 8.2a^2b^2c^2=16a^2b^2c^2$
Cộng vế ta có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 12-04-2014 - 16:03
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{4b^{2}+bc+4c^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}}\leq 1$
Cách bạn trên kĩ thuật nhưng trâu quá... =))))))))
Đầu tiên ta sẽ thu gọn lại biểu thức 1 chút . Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$, thì BĐT đã cho trở thành
$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq 1$$
Do các biến độc lập với nhau nên 1 cách tự nhiên ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Vasc để đánh giá
Ta có $\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$
$\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)
Suy ra
$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq \sum \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\leq 1$$
Ta có đpcm
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Cách bạn trên kĩ thuật nhưng trâu quá... =))))))))
Đầu tiên ta sẽ thu gọn lại biểu thức 1 chút . Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$, thì BĐT đã cho trở thành
$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq 1$$
Do các biến độc lập với nhau nên 1 cách tự nhiên ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Vasc để đánh giá
Ta có $\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}\leq \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}$
$\Leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)
Suy ra
$$\sqrt{\frac{1}{4x^2+x+4}}+\sqrt{\frac{1}{4y^2+y+4}}+\sqrt{\frac{1}{4z^2+z+4}}\leq \sum \frac{x+1}{2(x^2+x+1)}\leq 1$$
Ta có đpcm
anh ơi em không biết BĐT Vasc , anh có thể ghi ra được không
Theo Cauchy-Swtach có: $(\sum \sqrt{\frac{a^2}{4a^2+ab+4b^2}})^2=(\sum \sqrt{\frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)}}.\sqrt{4b^2+bc+4c^2})^2\leq (\sum (4b^2+bc+4c^2))(\sum \frac{a^2}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)})=\frac{(8\sum a^2+\sum ab).(\sum a^2(4b^2+bc+4c^2))}{(4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)}\leq 1< = > (8\sum a^2+\sum ab))(8\sum a^2b^2+abc(\sum a))\leq (4a^2+ab+4b^2)(4b^2+bc+4c^2)(4c^2+ac+4a^2)$
Nhân ra và rút gọn ta đưa về $8abc\sum a^3+3abc(\sum ab(a+b))+8\sum a^3b^3\geq 66a^2b^2c^2$
Nhưng bđt này đúng vì theo AM-GM có:
$8abc\sum a^3\geq 8abc.2abc=16a^2b^2c^2$
$3abc(\sum ab(a+b))\geq 3abc.(6abc)=18a^2b^2c^2$
$8\sum a^3b^3\geq 8.2a^2b^2c^2=16a^2b^2c^2$
Cộng vế ta có ĐPCM
Cho mình hỏi, có cách nào rút gọn đơn giản hok bạn (như nhóm một số phần tử lại)....Ko lẽ khai triển hết tất cả rồi rút gọn ah (thấy hơi vất vả )
-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-
dùng pp hoán vị BĐT rồi đồng nhất thức giải ra liền
Đề nghị mod cho sao chép lại bài này
anh ơi em không biết BĐT Vasc , anh có thể ghi ra được không
đây là 1 chuyên đề nhỏ về BĐT Vasc ( Internet )
khá là hay .
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh