Cho x,y,z >0 thoả xy+yz+xz=3
Chứng minh rằng P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 12-04-2014 - 12:47
Cho x,y,z >0 thoả xy+yz+xz=3
Chứng minh rằng P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 12-04-2014 - 12:47
ONG NGỰA 97.
Cho x,y,z >0 thoả xy+yz+xz=3
Chứng minh rằng P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$
BĐT $\sum \frac{1}{x^2+y^2+2}\leq \frac{3}{4}< = > \sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{3}{2}$
Theo Cauchy-Swatch có:$\sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum (x^2+y^2+2)}=\frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{2\sum x^2+6}\geq \frac{3}{2}< = > (\sum \sqrt{x^2+y^2})^2\geq 3\sum x^2+9< = > 2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sum x^2+9$
Theo Bunhiacopxki có:$2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq 2\sum (x^2+yz)=2\sum x^2+2\sum yz=2\sum x^2+6\geq \sum x^2+\sum xy+6=\sum x^2+9$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh