Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết

Cho  x,y,z >0 thoả xy+yz+xz=3

 

Chứng minh rằng  P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 12-04-2014 - 12:47

ONG NGỰA 97. :wub: 


#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho  x,y,z >0 thoả xy+yz+xz=3

 

Chứng minh rằng  P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{x^2+z^2+2}\leq \frac{3}{4}$

BĐT $\sum \frac{1}{x^2+y^2+2}\leq \frac{3}{4}< = > \sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{3}{2}$

Theo Cauchy-Swatch có:$\sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum (x^2+y^2+2)}=\frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{2\sum x^2+6}\geq \frac{3}{2}< = > (\sum \sqrt{x^2+y^2})^2\geq 3\sum x^2+9< = > 2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sum x^2+9$

Theo Bunhiacopxki có:$2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq 2\sum (x^2+yz)=2\sum x^2+2\sum yz=2\sum x^2+6\geq \sum x^2+\sum xy+6=\sum x^2+9$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh