Chủ đề này có 2 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b , c là các số dương . Tìm GTLN của các biểu thức :

1)  $A = 4\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )-\left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

2)  $B = 2\left ( ab+bc+ca \right )+4\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )-3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

3)  $C = \frac{\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3} \left ( abc=1 \right )$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 12-04-2014 - 20:05

[RainThunde]

1) Xét hàm số $f(x)=4\sqrt{x}-x^2$

$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-2x=0\Leftrightarrow x=1$

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thu được $f(x)\leq 3$ với mọi x>0

Vậy GTLN của A là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

2) $B\leq 2(a^2+b^2+c^2)-4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3(a^2+b^2+c^2)=A$

Vậy GTLN của B là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

3) Theo câu 2:

$C=\frac{ab+bc+ca+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a^2+b^2+c^2+3}\leq \frac{9+3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN của C là $\frac{3}{2}$, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 13-04-2014 - 02:43

[hoaadc08]

Ta CM :$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+3\geq 2\left ( X+Y+Z \right )\Leftrightarrow \left ( X-1 \right )^{2}+\left ( Y-1 \right )^{2}+\left ( Z-1 \right )^{2}\geq 0$   (*) .

Áp dụng (*) lần lượt với : X = a , Y = b , Z = c và $X=\sqrt{a}, Y=\sqrt{b},Z=\sqrt{c}$

Suy ra câu 1 . Từ đó câu 2 và 3 .