Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.
Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.
Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$4^{-|x-k|}log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$.
$4^{-\left | x-k \right |}\log_{\sqrt{2}}(x^2-2x+3)+2^{-x^2+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2\left | x-k \right |+2)=0$
$\Leftrightarrow 2^{-2\left | x-k \right |+1}\log_2(x^2-2x+3)=2^{-x^2+2x}\log_2(2\left | x-k \right |+2)$
$\Leftrightarrow \frac{\log_2(x^2-2x+3)}{\log_2(2\left | x-k \right |+2)}=\frac{2^{2\left | x-k \right |-1}}{2^{x^2-2x}}=\frac{2^{2\left | x-k \right |+2}}{2^{x^2-2x+3}}$ (1)
+ Nếu $x^2-2x+3> 2\left | x-k \right |+2$ thì (1) vô nghiệm vì vế trái lớn hơn $1$, còn vế phải nhỏ hơn $1$
+ Nếu $x^2-2x+3< 2\left | x-k \right |+2$ thì (1) vô nghiệm vì vế trái nhỏ hơn $1$, còn vế phải lớn hơn $1$
+ Vậy (1) $\Leftrightarrow 2\left | x-k \right |=x^2-2x+1$ (2)
Xét 2 trường hợp :
$1)\ x\geqslant k$
Khi đó (2) $\Leftrightarrow x^2-4x+2k+1=0$ (3)
(3) chỉ có nghiệm khi $k\leqslant \frac{3}{2}$ :
+ Với $k=\frac{3}{2}\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn vì $x> k$)
+ Với $k< \frac{3}{2}\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3-2k}$ (thỏa mãn vì dễ dàng chứng minh $x\geqslant k$)
$2)\ x< k$
Khi đó (2) $\Leftrightarrow x^2-2k+1=0$ (4)
(4) chỉ có nghiệm khi $k\geqslant \frac{1}{2}$ :
+ Với $k=\frac{1}{2}\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn vì $x< k$)
+ Với $k> \frac{1}{2}$ và $k\neq 1\Rightarrow x=\pm \sqrt{2k-1}$ (thỏa mãn vì dễ dàng chứng minh $x< k$)
+ Với $k=1\Rightarrow x=-1$ (thỏa mãn vì $x< k$, loại nghiệm $x=1$)
Kết hợp cả 2 trường hợp trên, ta thấy :
+ Nếu $k\in \left ( -\infty;\frac{1}{2} \right )$ thì có $2$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{3-2k}$
+ Nếu $k\in \left ( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right )$ và $k\neq 1$ thì có $4$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{3-2k}$ ; $x=\pm \sqrt{2k-1}$
+ Nếu $k\in \left ( \frac{3}{2};+\infty \right )$ thì có $2$ nghiệm là $x=\pm \sqrt{2k-1}$
+ Nếu $k=\frac{1}{2}$ thì có $3$ nghiệm là $x=2\pm \sqrt{2}$ và $x=0$
+ Nếu $k=1$ thì có $3$ nghiệm là $x=3$ ; $x=1$ và $x=-1$
+ Nếu $k=\frac{3}{2}$ thì có $3$ nghiệm là $x=2$ và $x=\pm \sqrt{2}$
Vậy với $k=\frac{1}{2}$ ; $k=1$ ; $k=\frac{3}{2}$ thì phương trình đã cho có đúng $3$ nghiệm phân biệt như đã nêu rõ ở trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-07-2016 - 06:02
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh