Chủ đề này có 7 trả lời

[The Collection]

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn: \[ P(x^2+1)=(P(x))^2+1 \]

[Trung Gauss]

Nhận xét thấy vế trái là $P(x^2+1)$, còn vế phải xuất hiện $(P(x))^2$ nên ta dự đoán $P(x)=ax+b$, thay vào phương trình trên ta được

  $ax^2+(a+b)=a^2x^2+2abx+b^2+1$

Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 

   $a=a^2$

   $2ab=0$

   $a+b=b^2+1$

 Giải hệ trên ta tìm được $a=1, b=0$$\Rightarrow P(x)=x$

 Vậy $P(x)=x$

  

[Nxb]

Thế này thì bạn mới chỉ tìm được nghiệm trong trường hợp đa thức đó bậc nhất thôi chứng minh của bạn nếu muốn đúng thì dự đoán đó phải được chứng minh.

[Trung Gauss]

Yeah! Mình cần chứng minh P(x)=x là hàm duy nhất thỏa mãn bài toán

[The Collection]

Nhận xét thấy vế trái là $P(x^2+1)$, còn vế phải xuất hiện $(P(x))^2$ nên ta dự đoán $P(x)=ax+b$, thay vào phương trình trên ta được

  $ax^2+(a+b)=a^2x^2+2abx+b^2+1$

Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: 

   $a=a^2$

   $2ab=0$

   $a+b=b^2+1$

 Giải hệ trên ta tìm được $a=1, b=0$$\Rightarrow P(x)=x$

 Vậy $P(x)=x$

 

Hì, bạn ơi, $P(x)=x$ chỉ là đáp án trong 1 trường hợp của bài toán, khi hàm $P(x)$ lẻ

[Nxb]

Nếu hàm P(x) có bậc lẻ thì tồn tại $x_0$ để $P(x_0)=x_0$. Khi đó với $x_1=x_0^2+1$ ta có $P(x_1)=x_1$ và $x_1>x_0$. Theo cách này, ta xây dựng được một dãy vô hạn ${x_n}$ thỏa mãn $P(x_n)=x_n$ với mọi $n$. Từ đây ta có $P(x)=x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

[mathandyou]

Bài này là bài 73 trong cuốn TLCT 12 phần chuyên đề về phương trình hàm đa thức

[1414141]

Nếu hàm P(x) có bậc lẻ thì tồn tại $x_0$ để $P(x_0)=x_0$. Khi đó với $x_1=x_0^2+1$ ta có $P(x_1)=x_1$ và $x_1>x_0$. Theo cách này, ta xây dựng được một dãy vô hạn ${x_n}$ thỏa mãn $P(x_n)=x_n$ với mọi $n$. Từ đây ta có $P(x)=x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

 

Hay, sao cậu nghĩ ra được vậy, những bài như nào thì sử dụng tính chất này.