Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 13-04-2014 - 15:41

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR

$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$

 

p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé


        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#2 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 13-06-2014 - 15:00

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.CMR

$\left | AC-BD \right |\leq \left | AB-CD \right |$

 

p/s:Các bạn nào có bài hình ngắn ngắn mà hay post lên cùng thảo luận nhé

 

Sử dụng định lí $Ptolemy$ ta có

$AC^{2}-2AC.BD+BD^{2}\leq AB^{2}-2AB.CD+CD^{2}$

$\Leftrightarrow AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}\leq AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$

 

Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$

 

Ta có

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$ 

 

Do đó

$MN=\left | \overrightarrow{MN} \right |=\frac{1}{2} \left | \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right | \geq \frac{1}{2}\left | AD-BC \right |$   $(1)$

 

Ta lại có

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=2BM^{2}+2DM^{2}+AC^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}$    $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}\geq AC^{2}+BD^{2}+(AD-BC)^{2}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh