Đến nội dung

Hình ảnh

Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ILoveMathverymuch

ILoveMathverymuch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$

CMR An là hợp số và có ít nhất n ước số phân biệt.


        >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)   >:)

                                                               
               Hoàng Sa-Trường Sa là của Việt Nam

 

         :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 

 

                                                                                                                                                                                                            

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                     

       


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Với mỗi n$\geq$ 2 và thuộc N đặt $A_{n}=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$

CMR An là hợp số và có ít nhất n ước số phân biệt.

Có thể chứng minh là $A_n$ có $n$ ước số nguyên tố phân biệt

Ta sẽ chứng minh bài toán bằng phép quy nạp.

$\bullet$ Với $n=1$ thì $A_n=7$ hiển nhên thỏa mãn đề.

$\bullet$ Giả sử khẳng định trên đúng đến $n$, ta sẽ chứng minh nó đúng với $n+1$. Thật vậy do :

$$A_{n+1}=2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1=(2^{2^n}+1)^2-2^{2^{n}}=(2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1)\\=A_n.(A_n+2.2^{2^n})$$

Nhưng do $UCLN(A_n;A_n+2.2^{2^n})=UCLN(A_n;2.2^{2^{n}})=1$ (Do $A_n$ là số lẻ, $;2.2^{2^{n}}$ chỉ có ước nguyên tố là $2$)

Suy ra $A_n+2.2^{2^n}$ có ít nhất 1ước số nguyên tố khác với tập ước số nguyên tố của $A_n$, hay $A_{n+1}$ có $n+1$ ước nguyên tố phân biệt $\square$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh