Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$

đại số 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.


Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#2
Hung Ten Em

Hung Ten Em

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.

<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$

<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$

giả sử y khác kz

<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)

<=> y=kz, x=ky Hết



#3
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$

<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$

giả sử y khác kz

<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)

<=> y=kz, x=ky Hết

Thế còn $x^2+y^2+z^2$ thi tính sao đây ông bạn, ông bạn "bỏ xó" nó à


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#4
Hung Ten Em

Hung Ten Em

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Thế còn $x^2+y^2+z^2$ thi tính sao đây ông bạn, ông bạn "bỏ xó" nó à

Tìm x,y theo z thế zô 



#5
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Tìm x,y theo z thế zô 

 

<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$

<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$

giả sử y khác kz

<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)

<=> y=kz, x=ky Hết

Với lại $k$ ở đây là một số hữu tỉ, $x=ky$ không lẽ $x$ là số hữu tỉ??? Trái với giả thuyết rồi!!!


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#6
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.

ở đây này mọi người

http://diendantoanho...hcs-lê-quý-đôn/



#7
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.

Ta có: $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{\left ( x+y\sqrt{2013} \right )\left ( y-z\sqrt{2013} \right )}{y^2-2013z^2}\\ =\frac{xy-2013yz+\sqrt{2013}\left ( y^2-xz \right )}{y^2-2013z^2}$

Như vậy $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ khi và chỉ khi $y^2=xz$

Suy ra $x^2+z^2+xz=p$ với $p$ là số nguyên tố.

Gọi $d$ là UCLN của $x,z$, ta có: $\left\{\begin{matrix} x=dx'\\ z=dz' \end{matrix}\right.$

Suy ra $d^2x'^2+d^2z'^2+d^2x'z'=p\Leftrightarrow d^2\left ( x'^2+z'^2+x'z' \right )=p\Rightarrow d=1$

Hay $x,z$ nguyên tố cùng nhau. Mà $y^2=xz$ lại là số chính phương nên $x',z'$ cũng là số chính phương.

Theo nguyên tắc lùi vô hạn thì điều trên xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(1;1;1)$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#8
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.

Đặt $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}= \frac{a}{b}(a,b\in Q)$

$\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}= ay+az\sqrt{2013}\Leftrightarrow bx-ay=(az-by)\sqrt{2013}$

+ Nếu $az-by\neq 0$ thì $\sqrt{2013}= \frac{bx-ay}{az-by}\in Q$ (Vô lí)

$\Rightarrow az-by= bx-ay=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} bx=ay & & \\ by=az & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x}{y}= \frac{y}{z}= \frac{a}{b}\Rightarrow y^2=xz$

Ta có $x^2+y^2+z^2= x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2xz+z^2-y^2=(x+z)^2-y^2=(x+z-y)(x+y+z)$

Mà $x+z-y<x+y+z$ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố nên $x+z-y=1$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$

Ta có BĐT sau: $\left\{\begin{matrix} x^2\geq x & & \\ y^2\geq y & & \\ z^2\geq z & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq x+y+z$. Dấu "=" khi $x=y=z=1$ 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#9
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.

 

Đây là đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh của mình (vòng 2) năm ngoái.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số 9

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh