Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
#1
Đã gửi 13-04-2014 - 20:59
- phatthemkem, hoangmanhquan, angleofdarkness và 2 người khác yêu thích
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
#2
Đã gửi 13-04-2014 - 21:46
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$
<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$
giả sử y khác kz
<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)
<=> y=kz, x=ky Hết
- Dam Uoc Mo yêu thích
#3
Đã gửi 13-04-2014 - 21:58
<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$
<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$
giả sử y khác kz
<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)
<=> y=kz, x=ky Hết
Thế còn $x^2+y^2+z^2$ thi tính sao đây ông bạn, ông bạn "bỏ xó" nó à
- Dam Uoc Mo yêu thích
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#4
Đã gửi 13-04-2014 - 22:08
Thế còn $x^2+y^2+z^2$ thi tính sao đây ông bạn, ông bạn "bỏ xó" nó à
Tìm x,y theo z thế zô
- Dam Uoc Mo yêu thích
#5
Đã gửi 13-04-2014 - 22:19
Tìm x,y theo z thế zô
<=>x+y$\sqrt{2013}$=ky+kz$\sqrt{2013}$
<=>(x-ky)=(kz-y)$\sqrt{2013}$
giả sử y khác kz
<=>$\frac{x-ky}{kz-y}=\sqrt{2013}$ (vô lý)
<=> y=kz, x=ky Hết
Với lại $k$ ở đây là một số hữu tỉ, $x=ky$ không lẽ $x$ là số hữu tỉ??? Trái với giả thuyết rồi!!!
- Dam Uoc Mo yêu thích
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#6
Đã gửi 13-04-2014 - 22:28
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
ở đây này mọi người
http://diendantoanho...hcs-lê-quý-đôn/
- phatthemkem, Dam Uoc Mo và Silent Night thích
#7
Đã gửi 13-04-2014 - 22:33
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
Ta có: $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{\left ( x+y\sqrt{2013} \right )\left ( y-z\sqrt{2013} \right )}{y^2-2013z^2}\\ =\frac{xy-2013yz+\sqrt{2013}\left ( y^2-xz \right )}{y^2-2013z^2}$
Như vậy $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ khi và chỉ khi $y^2=xz$
Suy ra $x^2+z^2+xz=p$ với $p$ là số nguyên tố.
Gọi $d$ là UCLN của $x,z$, ta có: $\left\{\begin{matrix} x=dx'\\ z=dz' \end{matrix}\right.$
Suy ra $d^2x'^2+d^2z'^2+d^2x'z'=p\Leftrightarrow d^2\left ( x'^2+z'^2+x'z' \right )=p\Rightarrow d=1$
Hay $x,z$ nguyên tố cùng nhau. Mà $y^2=xz$ lại là số chính phương nên $x',z'$ cũng là số chính phương.
Theo nguyên tắc lùi vô hạn thì điều trên xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(1;1;1)$
- Trang Luong, Dam Uoc Mo và Nguyen Huy Hoang thích
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#8
Đã gửi 14-04-2014 - 00:16
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
Đặt $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}= \frac{a}{b}(a,b\in Q)$
$\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}= ay+az\sqrt{2013}\Leftrightarrow bx-ay=(az-by)\sqrt{2013}$
+ Nếu $az-by\neq 0$ thì $\sqrt{2013}= \frac{bx-ay}{az-by}\in Q$ (Vô lí)
$\Rightarrow az-by= bx-ay=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} bx=ay & & \\ by=az & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x}{y}= \frac{y}{z}= \frac{a}{b}\Rightarrow y^2=xz$
Ta có $x^2+y^2+z^2= x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2xz+z^2-y^2=(x+z)^2-y^2=(x+z-y)(x+y+z)$
Mà $x+z-y<x+y+z$ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố nên $x+z-y=1$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$
Ta có BĐT sau: $\left\{\begin{matrix} x^2\geq x & & \\ y^2\geq y & & \\ z^2\geq z & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq x+y+z$. Dấu "=" khi $x=y=z=1$
- phatthemkem, Dam Uoc Mo và BysLyl thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#9
Đã gửi 14-04-2014 - 12:10
Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ,đồng thời x2+y2+z2 là số nguyên tố.
Đây là đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh của mình (vòng 2) năm ngoái.
- phatthemkem, Dam Uoc Mo và Hung Ten Em thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số 9
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Với các số thực không âm a,b,c thoả mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 =14$. Tìm GTLN của biểu thức $P = 9a+16b+abc$Bắt đầu bởi wynnee, 15-07-2021 bất đẳng thức, đại số 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Giải các phương trình: $x^3 + (2 + 3\sqrt{5 - 3x})x - 7\sqrt{5 - 3x} = 0$Bắt đầu bởi tcm, 03-07-2018 đại số 9, phương trình vô tỷ |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh rằng với mọi $n \in Z^+$ ta đều có: $A < 2$.Bắt đầu bởi tcm, 01-10-2017 đại số 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh rằng: $\sqrt{1 - \frac{1}{xy}}$ là số hữu tỉ.Bắt đầu bởi tcm, 15-09-2017 đại số 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh rằng các số $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$, $\sqrt{z}$ là các số hữu tỉ.Bắt đầu bởi tcm, 15-09-2017 đại số 9 |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh