Cho $x,y,z$ là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:
$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 13-04-2014 - 21:42
Cho $x,y,z$ là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:
$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 13-04-2014 - 21:42
Đáng ra phải là $x,y,z\in [0;1]$ chứ nhỉ, vì dấu bằng xảy ra khi $2$ số bằng $1$, $1$ số bằng $0$ mà
Bất đẳng thức đã cho tương đương :
$$\frac{x+y+z}{xy+1}+\frac{x+y+z}{yz+1}+\frac{x+y+z}{xz+1}\leq 5$$
$$\Leftrightarrow \left(\frac{x+y}{xy+1}+\frac{y+z}{yz+1}+\frac{x+z}{xz+1}\right)+\left(\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}\right)\leq 5$$
Nhưng do $\frac{x+y}{xy+1}\leq 1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$ (đúng)
Tương tự và cộng lại ta cần chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}\leq 2$$
Nhưng do $xy+1,yz+1,xz+1\geq xyz+1$, nên ta chỉ cần chứng minh :
$$\frac{x+y+z}{xyz+1}\leq 2$$
$$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2xyz+2$$
$$\Leftrightarrow 0\leq (x-1)(y-1)+(xy-1)(z-1)+xyz$$
Kết thúc chứng minh $\square$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh