Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Cho $x,y,z$  là ba số thực thuộc $(0;1]$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leqslant \frac{5}{x+y+z}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 13-04-2014 - 21:42

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Đáng ra phải là $x,y,z\in [0;1]$ chứ nhỉ, vì dấu bằng xảy ra khi $2$ số bằng $1$, $1$ số bằng $0$ mà :P

Bất đẳng thức đã cho tương đương :

$$\frac{x+y+z}{xy+1}+\frac{x+y+z}{yz+1}+\frac{x+y+z}{xz+1}\leq 5$$

$$\Leftrightarrow \left(\frac{x+y}{xy+1}+\frac{y+z}{yz+1}+\frac{x+z}{xz+1}\right)+\left(\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}\right)\leq 5$$

Nhưng do $\frac{x+y}{xy+1}\leq 1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\geq 0$ (đúng)

Tương tự và cộng lại ta cần chứng minh bất đẳng thức :

$$\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}\leq 2$$

Nhưng do $xy+1,yz+1,xz+1\geq xyz+1$, nên ta chỉ cần chứng minh :

$$\frac{x+y+z}{xyz+1}\leq 2$$

$$\Leftrightarrow x+y+z\leq 2xyz+2$$

$$\Leftrightarrow 0\leq (x-1)(y-1)+(xy-1)(z-1)+xyz$$

Kết thúc chứng minh $\square$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh