Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangtrong2305]

I. Đạo hàm hàm số logarithm:

 

 

Đầu tiên ta quan sát đồ thị hàm số logarithm cơ số $e$

 

$$f(x)=\log_{e} x$$

 

Hàm số này thường được viết gọn thành $\ln e$. Tiếp tuyến tại điểm $x=2$ được cho ở trên đồ thị

 

 

Độ dốc tiếp tuyến tại $x=2$ là $\frac{1}{2}$ (Ta có thể xác định điều này bằng cách nhìn vào tỉ lệ tung/ hoành)

 

 

Nếu $y=\ln x$, ta xét:

 

Ta thấy rằng độ dốc tại mỗi điểm trên đồ thị trùng với giá trị điểm đó trên hàm số $\frac{1}{x}$. Điều này đúng với mọi giá trị $x$ dương (ta không có logarithm của số âm)

 

 

Nếu ta làm nhiều ví dụ nữa, ta sẽ xác định được đạo hàm của hàm số $y=\ln x=\frac{1}{x}$. Hay nói cách khác

 

 

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$

 

 

Lưu ý 1: Thật ra kết quả này có được từ bài Đạo hàm từ gốc.

 

 

Lưu ý 2: Ta đang sử dụng logarithm với cơ số $e$. Nhắc lại định nghĩa hàm số logarithm:" Với $a$ là một số dương và $b$ là một số dương, số thực $n$ thỏa mãn $a^{n}=b$ được gọi là logarithm cơ số $a$ của $b$. Ký hiệu $\log_{a} b$". Ở bài trên, $e$ là giá trị giới hạn của $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

 

 

1. Đạo hàm hàm số logarithm $y=\ln x$

 

 

Cách viết đạo hàm hàm số logarithm có thể là:

 

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$$

 

$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$

 

$$\frac{d}{dx}(\log_{e} x)=\frac{1}{x}$$

 

Nếu $y=\ln x$ thì $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$

 

 

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y=\ln 2x$

 

 

Trả lời 

Spoiler

Ta sử dụng công thức:
$$\log ab = \log a + \log b$$
Ta viết lại đề bài
$$y=\ln 2x=\ln 2+ \ln x$$
Đạo hàm của hằng số bằng $0$, vậy
$$\frac{d}{dx}\ln 2=0$$
Vậy ta còn:
$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$
Đáp án là:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$
Ta quan sát đồ thị dưới đây biểu diễn độ dốc của đồ thị $y=\ln 2x$ (đường cong màu đen, tiếp tuyến màu đỏ), hình dạng giống với đồ thị $y=\ln x$ (đường cong màu xanh, độ dốc màu hồng) tại điểm $x=2$

 

 

 

 

 

 

2. Đạo hàm hàm số $y=\ln u$ (với $u$ là hàm số theo $x$)

 

Ta không thể chỉ đơn thuần sử dụng các quy tắc cộng trừ nhân chia trong logarithm để giải quyết. Trong những bài toán thực tế yêu cầu ta tính đạo hàm logarithm của một hàm số nào đó theo $x$. Ví dụ như đạo hàm $y=2\ln (3x^{2}-1)$.

 

Ta sử dụng công thức hàm số hợp để giải quyết bài toán. Nếu $y=\ln u,u=f(x)$ thì:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}$$

với $u'$ là đạo hàm của $u$

Một cách viết khác:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}$$

Bạn có thể thấy có cách viết sau, ý nghĩa không đổi. Nếu $y=\ln f(x)$ thì đạo hàm của $y$ là 

$$\frac{dy}{dx}=\frac{f'(x)}{f(x)}$$

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số $y=\ln[(\sin 2x)(\sqrt{x^{2}+1})]$

Trả lời

Spoiler

Đầu tiên ta sử dụng công thức logarithm sau để đơn giản hóa bài toán
$$\log ab=\log a+\log b$$
và
$$\log a^{n}=n\log a$$
Vậy ta có thể viết lại biểu thức của đề bài thành:
$$y=\ln[(\sin 2x)(\sqrt{x^{2}+1})]$$
$$=\ln(\sin 2x)+\ln(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}$$
$$=\ln(\sin 2x)+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)$$
Tiếp theo, ta sử dụng quy tắc sau để tính đạo hàm (thực hiện 2 lần)
$$\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}$$
Với $u=\sin 2x \Rightarrow u'=2\cos 2x$.
Với $u=x^{2}+1 \Rightarrow u'=2x$
Vậy ta có đáp án:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}+\frac{1}{2}\frac{2x}{x^{2}+1}=2\cot 2x+\frac{x}{x^{2}+1}$$

 

3. Đạo hàm hàm số logarithm với cơ số khác số $e$:

 

Nếu $u=f(x)$ là hàm số theo $x$ và $y=\log_{b} u$ là hàm số logarithm theo cơ số $b$ thì ta có được đạo hàm của hàm logarithm với cơ số $b$ là

$$\frac{dy}{dx}=(\log_{b} e)\frac{u'}{u}$$

với $u'$ là đạo hàm của $u$ và $\log_{b} e$ là hằng số 

 

Lưu ý 1: Kết quả này có được từ bài Đạo hàm từ gốc.

 

Lưu ý 2: Nếu ta chọn $e$ làm cơ số thì đạo hàm của $\ln u$ (với $u$ là hàm số theo $x$) được tính bằng công thức đơn giản hơn dưới đây

$$\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{u}$$

lưu ý rằng $\log_{e} e=1$

 

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của $y=\log_{2} 6x$

Trả lời

Spoiler

Ta sử dụng công thức sau để đơn giản hóa vấn đề
$$\log ab=\log a+\log b$$
Ta viết lại bài toán
$$y=\log_{2} 6x=\log_{2} 6+\log_{2} x$$
Ta có $\log_{2} 6$ là hằng số nên đạo hàm bằng $0$
Đạo hàm của phần thứ 2, sử dụng công thức sau:
$$\frac{dy}{dx}=(\log_{2} e)(\frac{1}{x})=\frac{\log_{2} e}{x}$$

 

II. Ứng dụng của đạo hàm hàm số Logarithm

 

Ví dụ 4: Một máy bay Cessa cất cánh từ sân bay gần mặt nước biển có quỹ đạo theo hàm số 

$$h=200 \ln (t+1)$$

với $h$ tính theo $feet$ và $t$ theo phút

Trả lời

Spoiler

Đồ thị hàm số $h=200 \ln (t+1)$ cho thấy đây là mô hình thực tế khi máy bay bay lên cao. Ở độ cao thấp, khi lượng không khí còn dày đặc thì tốc độ lên cao rất lớn. Nhưng khi máy bay càng bay lên cao, tốc độ lại giảm

Để xác định tốc độ lên cao (vận tốc ngang), ta cần xác định đạo hàm bậc nhất
$$\frac{d}{dt}2000 \ln(t+1)=\frac{2000}{t+1}$$
Tại $t=3,$ ta được $v=\frac{2000}{4}=500\, \text{feet/min}$

 

Lưu ý: Trong ngành hàng không, độ cao phía trên mực nước biển được tính theo đơn vị feet (1 feet = 0,3048 m), được xem là đơn vị đo chuẩn và được dùng phổ biến trong ngành khoa học hàng không và hàng hải

 

Mức cường độ âm và Decibel

 

Mức cường độ âm $P$ của một nguồn âm cho trước được xác định bằng công thức:

$$P=10 \log \frac{W}{W_{0}}$$

 

Đơn vị đo là decibel (dB)

 

$W$ là cường độ âm, có đơn vị là Watt

 

$W_{0}$ là cường độ âm chuẩn mà tai người nghe được. Nó là một hằng số có giá trị $10^{-12} \, \text{W/m^{2}}$

 

Cường độ âm có mối liên hệ đến cường độ của sóng âm. Logarithms được sử dụng để giải quyết các giá trị của mức cường độ âm lớn mà con người nghe được (từ tiếng gió nhẹ khoảng $20 \, dB$ đến tiếng gầm rú của show diễn nhạc Rock vào khoảng $120 \, dB$, phụ thuộc vào khoảng cách tới người nghe).

 

Ví dụ 5: Xác định tốc độ thay đổi của mức cường độ âm $P$ theo thời gian nếu $W=7.2$ và $\frac{dW}{dt}=0.5$ tại một thời điểm $t$ cho trước.

 

Trả lời

Spoiler

Ta có $W_{0}=10^{-12} \, \text{W/m^{2}}$ , sử dụng công thức Logarithm cho phân số, ta được
$$P=10 \log\frac{W}{10^{-12}}=10(\log W-\log 10^{-12})$$
Sử dụng công thức đạo hàm logarithm, kết hợp $\log 10^{-12}$ là hằng số, ta được:
$$\frac{dP}{dt}=10([\frac{1}{W}\log_{10}e]\frac{dW}{dt}-0)=10[\frac{1}{W}\log_{10}e]\frac{dW}{dt}$$
Thay thế các giá trị $W$ và $\frac{dW}{dt}$ từ đề bài, ta được:
$$\frac{dP}{dt}=10[\frac{1}{7.2}\log_{10}e]0.5=0.302 \, \text{dB/s}$$
Đơn vị đo là $\text{dB/s}$ vì mức cường độ âm thay đổi theo thời gian.

 

Ví dụ 6: Giả sử mức cường độ âm $W$ xác định bằng biểu thức theo thời gian $t$ (giây) sau

$$W=t^{2}+t+1$$

xác định tốc độ thay đổi của mức cường độ âm $P$ tại thời điểm $t=3s$

Trả lời

Spoiler

Đồ thị hàm số $W=t^{2}+t+1$ là một hình parabola đơn giản

Đồ thị của mức cường độ âm $P=10 \log \frac{t^{2}+t+1}{10^{-12}}$

Đạo hàm của $P$ là

$$\frac{dP}{dt}=10[\frac{1}{W}\log_{10}e]\frac{dW}{dt}=10[\frac{1}{t^{2}+t+1}\log_{10}e]\frac{d(t^{2}+t+1)}{dt}$$
$$=4.343\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}$$
Tại $t=3$, tốc độ thay đổi $P$ theo thời gian là:
$$\frac{dP}{dt}=[4.343\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}]_{t=3}=2.339 \text{dB/s}$$

 

Ví dụ 7: Nếu $W=\cos 0.2t$, xác định tốc độ thay đổi của mức cường độ âm $P$ tại thời điểm $t=1s$

Trả lời

Spoiler

Đồ thị $W=\cos 0.2t$

Đồ thị $P=10\log \frac{\cos 0.2t}{10^{-12}}$

Ta thấy rằng đồ dốc đồ thị là âm , vậy ta dự đoán đáp án sẽ có giá trị âm

Ta có:
$$P=10\log \frac{\cos 0.2t}{10^{-12}}$$
Mặt khác:
$$\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}10\log_{10}\frac{\cos 0.2t}{10^{-12}}=10[\frac{1}{W}\log_{10}e]\frac{dW}{dt}$$
$$=10[\frac{1}{\cos 0.2t}\log_{10}e](-0.2\sin 0.2t)=-0.869 \tan 0.2t$$
Tại $t=1s$, giá trị đạo hàm là $-0.176 \text{dB/s}$

Đáp án là âm, đúng như ta dự đoán.

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

 

Bài trước: Đạo hàm hàm lượng giác và ứng dụng.

 

Bài tiếp: Đạo hàm hàm số mũ và ứng dụng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 13-04-2014 - 23:32

[Math IOoOI LoL]

Khá là hay