Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

Toppic Các bài toán BĐT qua các kì thi olympic 30/4

bđt olympic 30/4

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 42 trả lời

#1 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 20:24

1, Mình lập ra topic này để các bạn cùng nhau thảo luận những bài toán BĐT đã qua trong các kì thi 30/4 để tìm ra những cách giải hay những nhận xét tinh tế

 

2) Quy định post bài : 
+ Chỉ được post 2 bài 1 lần. Giải xong mới được post tiếp để tránh hiện tượng Spam và loãng topic delta_t.gif Nếu bài khó quá thì để lại từ từ giải, chuyển qua bài khác.
+ Không Spam 
+ Bài giải phải đầy đủ các bước ( nói tóm tắt cũng đc). 
+ Dùng từ ngữ đúng theo ngữ pháp Tiếng Việt. Và phải dùng đúng latex.
+ Bài viết vi phạm các quy định trên thì sẽ bị xóa không thương tiếc delta_t.gif

 

Mình xin bắn phát đầu:

Bài 1:  (Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ 2011): Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+4b^{2}+9c^{2}=14$. Chứng minh rằng:

$3b+8c+abc\leq 12$


:lol:Thuận :lol:

#2 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2014 - 20:31

 

Bài 1:  (Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ 2011): Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+4b^{2}+9c^{2}=14$. Chứng minh rằng:

$3b+8c+abc\leq 12$

Mod ơi em thấy bài này ở đây

http://diendantoanho...-3b8cabcleq-12/



#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-04-2014 - 20:33

 

Bài 1:  (Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ 2011): Cho $a,b,c$ là ba số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+4b^{2}+9c^{2}=14$. Chứng minh rằng:

$3b+8c+abc\leq 12$

 

Bài 1:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$3(b^{2}+1)\geq 6b$

$8(c^{2}+1)\geq 16c$

$\Rightarrow 6b+16c+2abc\leq 3b^{2}+8c^{2}+2abc+11=25-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2abc$

Ta cần chứng minh:

$1+2abc\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Rightarrow 28abc\leq 13a^{2}+10b^{2}+5c^{2}$

Mà $(13a^{2}+10b^{2}+5c^{2})\sqrt{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}\geq \sqrt{14}\sqrt[28]{a^{2}b^{8}c^{18}}28\sqrt[28]{a^{26}b^{20}c^{10}}\geq 28abc\sqrt{14}$

Vậy ta đã chứng minh được điều trên.



#4 fcb

fcb

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 20:39

Bài 2 (năm 2012)

cho các số dương a,b,c thỏa mản điều kiện a$^{2}$+b$^{2}$+c$^{2}$$\leq$3

Chứng minh rằng ;$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fcb: 14-04-2014 - 20:50

  • LNH yêu thích

#5 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 20:39

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 14-04-2014 - 20:39

:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#6 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2014 - 20:56

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}\leqslant \sqrt{3.\sum \frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}}$

 

Giờ ta sẽ đi cm 

 

$\sum \frac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}\leqslant \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2+c^2}{7a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{2}{3}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

$\sum \frac{b^2+c^2}{7a^2+b^2+c^2}=\sum \frac{(b^2+c^2)^2}{(b^2+c^2)(7a^2+b^2+c^2)}$

 

$= \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2+12\sum a^2b^2}$

 

$\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{2}{3}$

 

Do đó ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 14-04-2014 - 20:57


#7 fcb

fcb

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 21:00

cho mình hỏi: thi olympic 30-4 có cho chuẩn hóa không ( bạn mình nó chuẩn hóa và bi rớt, có đứa lại đậu 2014)????????



#8 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:03

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Ta có: 

$\left (\sum  \frac{a}{\sqrt{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \right )^{2}\leq 3\left (  \sum \frac{a^{2}}{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right )$

Ta cần chứng minh: 

$\sum \frac{a^{2}}{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow 3-\sum \frac{7a^{2}}{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{8}{3}$

Ta có: $3-\sum \frac{7a^{2}}{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{4\left (  a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )}{\sum \left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( 7a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$.

Đến đây ta chỉ cần biến đổi tương đương thì sẽ có đpcm


:lol:Thuận :lol:

#9 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:04

cho mình hỏi: thi olympic 30-4 có cho chuẩn hóa không ( bạn mình nó chuẩn hóa và bi rớt, có đứa lại đậu 2014)????????

Ta vẫn có thể dùng phương pháp chuẩn hóa. Và dùng BĐT Becnuli


:lol:Thuận :lol:

#10 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:11

Mod ơi em thấy bài này ở đây

http://diendantoanho...-3b8cabcleq-12/

Cái này thì cho mình xin lỗi vì mình thực sự không biết nó đã tồn tại ở trên diễn đàn rồi

 

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Không biết có còn cách giải nào không. Mong các bạn nhiệt tình đưa ra những nhận xét của mình


:lol:Thuận :lol:

#11 fcb

fcb

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 21:11

dấu lớn hơn cuối cùng bạn dùng cauchy-shwarz thiếu bình phương kìa 



#12 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:17

dấu lớn hơn cuối cùng bạn dùng cauchy-shwarz thiếu bình phương kìa 

Mình đã nhân cả tử và mẫu cùng một lượng để dùng Cauchy-Schwarz rồi. Các bạn xem thử hộ mình BĐT cần chứng minh ở dưới mẫu số 7 mình có thể thay bằng một số k không ?


:lol:Thuận :lol:

#13 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2014 - 21:27

Bài 2 (năm 2012)

cho các số dương a,b,c thỏa mản điều kiện a$^{2}$+b$^{2}$+c$^{2}$$\leq$3

Chứng minh rằng ;$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$

 

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu ta có

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{b+c}}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

$\sum a\sqrt{b+c}\leqslant \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ac)}\Rightarrow VT\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ac)}}$

 

$=\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{2(ab+bc+ac)}}\geqslant \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 

(do ta có các BĐT $\left\{\begin{matrix} 2(ab+bc+ac)\leqslant \frac{2}{3}(a+b+c)^2 & \\ a+b+c\leqslant 3 & \end{matrix}\right.$) (với $a^2+b^2+c^2\leqslant 3$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 14-04-2014 - 21:30


#14 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 21:45

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Đặt $$C=\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}$$

và  $$D=a(7a^2+b^2+c^2)+b(a^2+7b^2+c^2)+c(a^2+b^2+7c^2)$$

Áp dụng bất đẳng thức $holder$ , ta có : 

$$C^2.D \geq (a+b+c)^3$$

Nên ta cần chứng minh $(a+b+c)^3 \geq D$ 

Ta có : $$D=7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3 \geq 7(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^3}{3}-3 \geq (a+b+c)^3$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 14-09-2014 - 20:16


#15 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:45

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

Mở rộng BĐT 30/4/2014

Cho $a,b,c$ là các số dương và k là một số dương bất kì. CMR

$\sum \frac{a}{\sqrt{ka^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq \sqrt{\frac{9}{k+2}}$


:lol:Thuận :lol:

#16 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-04-2014 - 21:55

Bài 4: (THPT Hùng Vương 2011) Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR

$\frac{x+y}{y+z}+\frac{z+y}{x+z}+\frac{x+z}{y+x}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+2y+2z}$


:lol:Thuận :lol:

#17 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 14-04-2014 - 22:02

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

 

mình nghĩ cách này là ngắn nhất:

đặt VT BDT thức bằng $P$, ta có:

${P^2} \le 3\sum {\frac{{{a^2}}}{{7{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}  \le \frac{1}{3}\sum {{a^2}\left( {\frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)}  = 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$



#18 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 14-04-2014 - 22:05

Đề tự sáng tác, xin mạn phép đưa vô nhé ! :) (thực ra cũng lấy ý tưởng từ một bài 30-4 năm 2013)

Bài 5 : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $6x+3y+2z=xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\dfrac{x\sqrt{yz}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt[4]{(y^2+4)(z^2+9)}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-04-2014 - 22:10

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#19 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2014 - 22:10

Mở rộng BĐT 30/4/2014

Cho $a,b,c$ là các số dương và k là một số dương bất kì. CMR

$\sum \frac{a}{\sqrt{ka^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq \sqrt{\frac{9}{k+2}}$

 

Theo em thì vẫn như cách làm bài trên, ta sẽ đi chứng minh

 

$\sum \frac{b^2+c^2}{ka^2+b^2+c^2}\geq \frac{6}{k+2}$

 

Sau đó áp dụng Bđt Cauchy- Schwarz thì ta có$\sum \frac{b^2+c^2}{ka^2+b^2+c^2}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (b^2+c^2)(ka^2+b^2+c^2)}$

 

$=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2+(2k-2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$

 

$\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{3(k+2)}}=\frac{6}{k+2}$

 

Bài toán đc cm xong :v



#20 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 15-04-2014 - 17:38

Bài 4: (THPT Hùng Vương 2011) Cho $x,y,z$ là các số thực dương. CMR

$\frac{x+y}{y+z}+\frac{z+y}{x+z}+\frac{x+z}{y+x}\geq \frac{x+y+2z}{x+2y+z}+\frac{2x+3y+3z}{x+2y+2z}$

Mình nói hướng thôi nhé. 

Đặt ẩn phụ $a=x+y,b=y+z,c=z+x$ sau đó đưa về chứng minh :

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}+1$$

Lời giải không suy nghĩ cho bài này là phương pháp S-S.


  • LNH yêu thích

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh