Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2014 - 20:52

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43

_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#2 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 17-04-2014 - 20:43

 

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

 

Ta giả sử rằng : $a_{n+2}=3n$

Nếu tồn tại số $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n\Rightarrow n< a_{n+2}-a_i< 2n$,

Nếu không tồn tại số  $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n$

Thì 2 số $a_i,a_j$ sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : $(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n-1)$ thỏa mãn được đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3 stronger steps 99

stronger steps 99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học,các loại nhạc:US-UK,K-POP,J-POP,...

Đã gửi 21-05-2014 - 22:21

Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:

$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$

Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$  thỏa mãn:  $n< a_{i}-a_{j}< 2n$

Xét 3 tập hợp:A{1,2,...,n} ; B{n+1,n+2,...,2n} ;C{2n+1,2n+2,...,3n}

Đặt k=3n-$a_{n+2}$ $(0\leq k\leq 2n-2)(do   a_{n+2}\geq n+2)$

Xét dãy (*) sau:$b_{1}=k+a_{1},b_{2}=k+a_{2},...,b_{n+2}=k+a_{n+2}$

$\rightarrow b_{n+2}=3n$

  ~O) Nếu tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

$\rightarrow n\leq k+a_{i}\leq 2n\rightarrow n\leq 3n-a_{n+2}+a_{i}\leq 2n\rightarrow 2n\geq a_{n+2}-a_{i}\geq n$(đpcm)

  ~O) Nếu không tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$

Xét các cặp số sau : (1,2n);(2,2n+1);...(n,3n-1) có hiệu của mỗi cặp là 2n-1

Do tập A và C không có quá n phần tử nên có không quá n số $b_{i}$$\epsilon$ tập A và có không quá n số $b_{j}$$\epsilon$ tập C mà trong dãy (*) có n+1 số (trừ $b_{n+2}=3n$) nên tồn tại ít nhất 1 cặp như trên.

Từ đó suy ra đpcm :icon6:


  :like Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. :like

                                               :nav: Ghé Thăm My Facebook tại đây.  :nav:

 


#4 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 12-10-2016 - 18:46

Mình giải như sau

Ta giả sử rằng : an+2=3nan+2=3n

Nếu tồn tại số aiai thỏa mãn : n<ai2nn<an+2ai<2nn<ai≤2n⇒n<an+2−ai<2n,

Nếu không tồn tại số  aiai thỏa mãn : n<ai2nn<ai≤2n

Thì 2 số ai,ajai,aj sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : (1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n1)(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n−1) thỏa mãn được đề bà


~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh