Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:
$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$
Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43
Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:
$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$
Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43
_Be your self- Live your life_
Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:
$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$
Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$
Ta giả sử rằng : $a_{n+2}=3n$
Nếu tồn tại số $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n\Rightarrow n< a_{n+2}-a_i< 2n$,
Nếu không tồn tại số $a_i$ thỏa mãn : $n< a_i\leq 2n$
Thì 2 số $a_i,a_j$ sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : $(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n-1)$ thỏa mãn được đề bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 17-04-2014 - 20:43
Cho n>1 và n+2 các số nguyên dương:
$1\leq a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n+2}\leq 3n$
Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{i};a_{j}$ thỏa mãn: $n< a_{i}-a_{j}< 2n$
Xét 3 tập hợp:A{1,2,...,n} ; B{n+1,n+2,...,2n} ;C{2n+1,2n+2,...,3n}
Đặt k=3n-$a_{n+2}$ $(0\leq k\leq 2n-2)(do a_{n+2}\geq n+2)$
Xét dãy (*) sau:$b_{1}=k+a_{1},b_{2}=k+a_{2},...,b_{n+2}=k+a_{n+2}$
$\rightarrow b_{n+2}=3n$
Nếu tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$
$\rightarrow n\leq k+a_{i}\leq 2n\rightarrow n\leq 3n-a_{n+2}+a_{i}\leq 2n\rightarrow 2n\geq a_{n+2}-a_{i}\geq n$(đpcm)
Nếu không tồn tại trong dãy (*) 1 số $b_{i}$ mà $n\leq b_{i}\leq 2n$
Xét các cặp số sau : (1,2n);(2,2n+1);...(n,3n-1) có hiệu của mỗi cặp là 2n-1
Do tập A và C không có quá n phần tử nên có không quá n số $b_{i}$$\epsilon$ tập A và có không quá n số $b_{j}$$\epsilon$ tập C mà trong dãy (*) có n+1 số (trừ $b_{n+2}=3n$) nên tồn tại ít nhất 1 cặp như trên.
Từ đó suy ra đpcm
Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater.
Mình giải như sau
Ta giả sử rằng : an+2=3nan+2=3n
Nếu tồn tại số aiai thỏa mãn : n<ai≤2n⇒n<an+2−ai<2nn<ai≤2n⇒n<an+2−ai<2n,
Nếu không tồn tại số aiai thỏa mãn : n<ai≤2nn<ai≤2n
Thì 2 số ai,ajai,aj sẽ thuộc 1 trong những dãy các cặp số sau : (1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n−1)(1,2n),(2,2n+1),(3,2n+2),...,(n,3n−1) thỏa mãn được đề bà
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh