Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
LyTieuDu142

LyTieuDu142

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

 

$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$



#2
Binh Le

Binh Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

BĐT cần cm

 $\Leftrightarrow 2(cosA+cosB+cosC)> 2$

Điều này luôn đúng vì 

$cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}>1$

với $A,B,C\in \left ( 0;\pi  \right )$

Thật vậy :

$cosA + cosB + cosC - 1 = 2.cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-sin\dfrac{C}{2} \right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left [ -2.sin\dfrac{A}{2} sin\left (\dfrac{-B}{2}\right )\right ]$ = $4 . sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2} \Rightarrow dpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 14-04-2014 - 23:55

๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ

 

                               


#3
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

BĐT cần cm

 $\Leftrightarrow 2(cosA+cosB+cosC)> 2$

Điều này luôn đúng vì 

$cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}>1$

với $A,B,C\in \left ( 0;\pi  \right )$

Thật vậy :

$cosA + cosB + cosC - 1 = 2.cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-sin\dfrac{C}{2} \right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left [ -2.sin\dfrac{A}{2} sin\left (\dfrac{-B}{2}\right )\right ]$ = $4 . sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2} \Rightarrow dpcm$

Trung học cơ sở mà, dùng sin với cos thế này khó quá chị ới !


新一工藤 - コナン江戸川

#4
ducbau007

ducbau007

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

$\frac{nnghn}{hthgh}$



#5
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Bất đẳng thức này tương đương với :

$(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) >0$
Luôn đúng với a;b;c là các cạnh của một tam giác :D


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh