Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$
BĐT cần cm
$\Leftrightarrow 2(cosA+cosB+cosC)> 2$
Điều này luôn đúng vì
$cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}>1$
với $A,B,C\in \left ( 0;\pi \right )$
Thật vậy :
$cosA + cosB + cosC - 1 = 2.cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-sin\dfrac{C}{2} \right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left [ -2.sin\dfrac{A}{2} sin\left (\dfrac{-B}{2}\right )\right ]$ = $4 . sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2} \Rightarrow dpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 14-04-2014 - 23:55
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
BĐT cần cm
$\Leftrightarrow 2(cosA+cosB+cosC)> 2$
Điều này luôn đúng vì
$cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}>1$
với $A,B,C\in \left ( 0;\pi \right )$
Thật vậy :
$cosA + cosB + cosC - 1 = 2.cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A-B}{2} - 2.sin^2\dfrac{C}{2}$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-sin\dfrac{C}{2} \right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left ( cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2}\right )$ = $2.sin\dfrac{C}{2} \left [ -2.sin\dfrac{A}{2} sin\left (\dfrac{-B}{2}\right )\right ]$ = $4 . sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2} \Rightarrow dpcm$
Trung học cơ sở mà, dùng sin với cos thế này khó quá chị ới !
$\frac{nnghn}{hthgh}$
Bất đẳng thức này tương đương với :
$(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) >0$
Luôn đúng với a;b;c là các cạnh của một tam giác
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh