Cho $x,y \ge 0$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$$
Spoiler
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$
Bắt đầu bởi Ispectorgadget, 16-04-2014 - 12:07
own
#1
Đã gửi 16-04-2014 - 12:07
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
- buiminhhieu, Viet Hoang 99 và Hoang Tung 126 thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 16-04-2014 - 19:47
Lugiahooh
-
- Thành viên
-
- 48 Bài viết
Binh nhất
Từ giả thiết ta suy ra $0\leq x,y\leq 1$
Do đó $K=\frac{2y}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\geq \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$
Đặt $f(y)= \sqrt{2}y+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ với $y\in [0;1]$
Ta có $f'(y)=\sqrt{2}-\frac{y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}=\frac{\sqrt{2}(1+y^2)\sqrt{1+y^2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}\geq \frac{\sqrt{2}-y}{(1+y^2)\sqrt{1+y^2}}>0$ với $\forall y\in (0;1)$
Suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(0;1)$
Mà $f(y)$ liên tục trên $[0;1]$
Suy ra $f(y) \geq f(0) = 1$
Nói cách khác $minK = 1$
Xảy ra khi $x=1; y=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 17-04-2014 - 14:40
- shinichigl yêu thích
Gió
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: own
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\sum_{k=1}^n \binom{n}{a_1,a_2, \cdots , a_k} \binom mk \binom{k}{b_1,b_2, \cdots , b_l}= m^n$Bắt đầu bởi Zaraki, 01-07-2015  tổ hợp, đẳng thức tổ hợp, own
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
