SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN : TOÁN LỚP 9 - BẢNG A
Thời gian thi : 150 phút
Bài 1: (2,0 điểm).
a) Cho $a=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$
Chứng minh rằng $a$ là một nghiệm của phương trình $2013x^2-2014x+1=0$
b) Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+yz+zx=2014$. Tính giá trị của biểu thức :
$P=x\sqrt{\frac{(y^2+2014)(z^2+2014)}{x^2+2014}}+y\sqrt{\frac{(z^2+2014)(x^2+2014)}{y^2+2014}}+z\sqrt{\frac{(x^2+2014)(y^2+2014)}{z^2+2014}}$
Bài 2: (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x=y\\ y^3-3y=z\\ z^3-3z=4-x \end{matrix}\right.$
Bài 3: (1,0 điểm).
Cho các số hữu tỉ $a,b$ thỏa mãn $a^2+b^2+(\frac{ab+1}{a+b})^2=2$
Chứng minh rằng $\sqrt{ab+1}$ cũng là một số hữu tỉ.
Bài 4: (1.5 điểm).
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$; các đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $F$. Phân giác trong của góc $\widehat{DFC}$ cắt $AB$ tại $P$, cắt $CD$ tại $Q$. Chứng minh rằng;
a) $\Delta PQE$ cân.
b) $EF^2=FA.FD + EA.EB$
Bài 5: (2,5 điểm).
Cho tam giác $ABC$ ( $AB<AC$ ) ngoại tiếp đường tròn $(O)$; $I,J$ lần lượt là các tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC$. Gọi $(K)$ là đường tròn bàng tiếp trong góc $\widehat{BAC}$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $F,G$. Các đường thẳng $IJ$ và $BO$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{BHC}=90$
b) Gọi $M$ là giao điểm của $KC$ và $GF$; N là giao điểm của $IJ$ và $CO$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $AC$.
Bài 6:(1,0 điểm).
Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} xz+yz+3x+y=1\\ 2xz+yz+5x=1 \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xy(z+2)$
