Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh hệ có 2 nghiệm thỏa mãn x,y > 0.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Chứng minh rằng hệ:

$\left\{\begin{matrix} &e^{x}=2010-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}} & \\ &e^{y}=2010-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} & \end{matrix}\right.$

 

có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $x>0,y>0$.


cnt

#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Chứng minh rằng hệ:

$\left\{\begin{matrix} &e^{x}=2010-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}} & \\ &e^{y}=2010-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} & \end{matrix}\right.$

 

có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $x>0,y>0$.

Ta có: $e^x-e^y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}$

$f(t)=e^t$ là hàm tăng trên ; $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}$ là hàm giảm tên $|t|\ge 1$. Thật vậy $g'(t)=\frac{-1}{(t^2-1)^{3/2}}<0 ; |t|>1$

Từ đó ta có $x=y$ nên ta có $e^x=2010-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

Xét  $h(x)=e^x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2010 (|x|>1)$
Nếu $x<-1$ thì $h(x)<0$ hệ vô nghiệm.
Nếu $x>1$ thì $h'(x)=e^x-(e^x-1)^{-3/2}$
$h''(x)=e^x+\frac{3x}{(x^2-1)^{3/2}}>0$

Mà $\lim\limits_{x\to 1^+}=+\infty; \lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$
Vậy $h(x)$ liên tục và có đồ thị là dường cong lõm trên $(1;+\infty)$.
Do đó $\exists \epsilon$ đủ lớn sao cho $f(\epsilon)>0$
Mà $f(2)<0$
Nên theo định lý Bolzano-Cauchy $\exists x_0 \in (2;a)$ sao cho $f(x_0)=0$.
Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm $x_1,x_2>1$.
Suy ra đpcm.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-04-2014 - 22:33

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh