Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của: $P=xy+yz+zx$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Enzan

Enzan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Cho các số thực dương thoả: $(x+y)(y+z)(z+x)=8$. Tìm GTLN của:

$P=xy+yz+zx$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho các số thực dương thoả: $(x+y)(y+z)(z+x)=8$. Tìm GTLN của:

$P=xy+yz+zx$

 

Ta có BĐT sau $8=(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)$

 

Mà $\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\geqslant \frac{8}{9}\sqrt{3(xy+yz+xz)}(xy+yz+xz)$

 

$\Rightarrow 8\geqslant \frac{8}{9}\sqrt{3(xy+yz+xz)}(xy+yz+xz)$

 

Giải BPT trên ta thu được $xy+yz+xz\leqslant 3\Rightarrow max=3$



#3
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

Cho các số thực dương thoả: $(x+y)(y+z)(z+x)=8$. Tìm GTLN của:

$P=xy+yz+zx$

$8=\prod \left ( x+y \right )\leq \frac{\left ( 2x+2y+2z \right )^{3}}{27}$

$\Rightarrow x+y+z\geq 3$

sử dụng bất đẳng thức phụ $8=\prod \left ( x+y \right )\geq \frac{8}{9}\left ( xy+yz+zx \right )\left ( x+y+z \right )$

$\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{9}{x+y+z}\leq 3$

dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh