Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 18-04-2014 - 13:13

Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1049 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-02-2016 - 10:03

Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$.

$\Delta ONA$ vuông tại $N$, có $OA=R$ ; $NA=\frac{\sqrt{3}}{2}\ R\Rightarrow \sin AON=\frac{NA}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{AON}=60^o\Rightarrow \widehat{AOB}=120^o\Rightarrow \widehat{AMB}=60^o$

$\Delta EMF$ là tam giác đều (vì $ME=MF$ và $\widehat{EMF}=\widehat{AMB}=60^o$) $\Rightarrow \widehat{EMI}=\widehat{IMF}=30^o$ và $MI$ _|_ $EF$

Qua $A,N,B$ kẻ các đường thẳng $AP,NK,BQ$ cùng vuông góc với $EF$ ($P,K,Q\in EF$)

$d(N,EF)=NK=\frac{AP+BQ}{2}=\frac{AE\cos PAE+BF\cos FBQ}{2}=\frac{AE\cos EMI+BF\cos IMF}{2}=\frac{(AE+BF)\cos 30^o}{2}=\frac{AB.\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}\ R$

$d(N,EF)=\frac{3}{4}\ R$ (là khoảng cách không đổi) $\Rightarrow EF$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $N$ (trung điểm $AB$), có bán kính bằng $\frac{3}{4}\ R$ khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh