Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 18-04-2014 - 13:13

Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.



#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1415 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-02-2016 - 10:03

Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$.

$\Delta ONA$ vuông tại $N$, có $OA=R$ ; $NA=\frac{\sqrt{3}}{2}\ R\Rightarrow \sin AON=\frac{NA}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{AON}=60^o\Rightarrow \widehat{AOB}=120^o\Rightarrow \widehat{AMB}=60^o$

$\Delta EMF$ là tam giác đều (vì $ME=MF$ và $\widehat{EMF}=\widehat{AMB}=60^o$) $\Rightarrow \widehat{EMI}=\widehat{IMF}=30^o$ và $MI$ _|_ $EF$

Qua $A,N,B$ kẻ các đường thẳng $AP,NK,BQ$ cùng vuông góc với $EF$ ($P,K,Q\in EF$)

$d(N,EF)=NK=\frac{AP+BQ}{2}=\frac{AE\cos PAE+BF\cos FBQ}{2}=\frac{AE\cos EMI+BF\cos IMF}{2}=\frac{(AE+BF)\cos 30^o}{2}=\frac{AB.\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}\ R$

$d(N,EF)=\frac{3}{4}\ R$ (là khoảng cách không đổi) $\Rightarrow EF$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $N$ (trung điểm $AB$), có bán kính bằng $\frac{3}{4}\ R$ khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh