Chủ đề này có 8 trả lời

[anh2307]

Cho số phức z khác 0 thỏa mãn $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \le 2$
CMR:$\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \le 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh2307: 18-04-2014 - 21:38

[firetiger05]

Từ GT --> $\left | (z+\frac{1}{z})(z^{2}-1+\frac{1}{z^{2}}) \right |\leq 2$

Mà $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$

     => $\left | z+\frac{1}{z} \right |\leq 2$

[anh2307]

Từ GT --> $\left | (z+\frac{1}{z})(z^{2}-1+\frac{1}{z^{2}}) \right |\leq 2$

Mà $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$

     => $\left | z+\frac{1}{z} \right |\leq 2$

 

Bạn ơi, z là số phức, bất đẳng thức trên là cho SỐ THỰC không âm,liệu xài được không?

Sao so sánh số phứcvới số thực được?,  $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$ thì 1 bên là số phức,một bên là số thực mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh2307: 18-04-2014 - 22:02

[firetiger05]

Bạn ơi, z là số phức, bất đẳng thức trên là cho SỐ THỰC không âm,liệu xài được không?

Sao so sánh số phứcvới số thực được?,  $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}-1\geq 2\sqrt{z^{2}.\frac{1}{z^{2}}}-1=2-1=1$ thì 1 bên là số phức,một bên là số thực mà

Theo mình thấy đây là cô si cho 2 số dương $z^{2}$ và $\frac{1}{z^{2}}$ không cần phức hay thực gì hết.

Dấu bằng xảy ra <=> z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 18-04-2014 - 22:08

[anh2307]

Theo mình thấy đây là cô si cho 2 số dương $z^{2}$ và $\frac{1}{z^{2}}$ không cần phức hay thực gì hết.

Dấu bằng xảy ra <=> z=1

để mình ví dụ cho bạn 1 cái này, bạn thử so sánh z=1+i và số 2 xem,theo bạn cái nào lớn hơn?cái nào nhỏ hơn?,mình nghĩ nó cũng giống vậy với bdt trên của bạn,khi chỉ cụ thể không thể so sánh được thì làm sao mà dùng được??

[firetiger05]

để mình ví dụ cho bạn 1 cái này, bạn thử so sánh z=1+i và số 2 xem,theo bạn cái nào lớn hơn?cái nào nhỏ hơn?,mình nghĩ nó cũng giống vậy với bdt trên của bạn,khi chỉ cụ thể không thể so sánh được thì làm sao mà dùng được??

Nhưng mà cô si luôn luôn áp dụng đc cho 2 số dương mà. Làm gì phức tạp thế? Đợi mình thử hỏi 1 người xem

[duongluan1998]

Cho số phức z khác 0 thỏa mãn $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \le 2$
CMR:$\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \le 2$

$\left | (z^{3}+\frac{1}{z^{3}}) \right |=\left | (z+\frac{1}{z})^{3}-3(z+\frac{1}{z}) \right |\leq 2$

Đặt t =$z+\frac{1}{z}$

Ta có 

$\left | t^{3}-3t \right |\leq 2$

Do t là số phức có dạng x+yi

nên ta có theo ycbt 

$(x^{3}-3xy^{2}-3x)^{2}+(3x^{2}y-y^{3}-3y)^{2}\leq 4\Leftrightarrow x^{6}+9x^{2}y^{4}+9x^{2}-6x^{4}+18x^{2}y^{2}-6x^{4}y^{2}+9x^{4}y^{2}+y^{6}+9y^{2}-6x^{2}y^{4}+6y^{4}-18x^{2}y^{2}=x^{6}+y^{6}+3x^{2}y^{4}+3x^{4}y^{2}+9x^{2}+9y^{2}-6x^{4}+6y^{4}\leq 4$

Ta cần CMR

$x^{2}+y^{2}\leq x^{6}+y^{6}+3x^{2}y^{4}+3x^{4}y^{2}+9x^{2}+9y^{2}-6x^{4}+6y^{4}\leq 4\Leftrightarrow 6x^{4}\leq x^{6}+y^{6}+3x^{2}y^{4}+3x^{4}y^{2}+8x^{2}+8y^{2}+6y^{4}$

Tới đây nghĩ là chắc chứng minh được

[duongluan1998]

Nhưng mà cô si luôn luôn áp dụng đc cho 2 số dương mà. Làm gì phức tạp thế? Đợi mình thử hỏi 1 người xem

Số Phức thì không xài BĐT Cauchy được nha bạn 

[diepviennhi]

Cho số phức z khác 0 thỏa mãn $\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \le 2$
CMR:$\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \le 2$

Bài này chỉ cần làm như thế này thôi có $\begin{vmatrix} z^{3}+\frac{1}{z^{3}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} (z+\frac{1}{z})^3-3(z+\frac{1}{z}) \end{vmatrix}\geq\begin{vmatrix} (z+\frac{1}{z})^{3} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3(z+\frac{1}{z}) \end{vmatrix}=r^{3}-3r;r=\begin{vmatrix} z+\frac{1}{z} \end{vmatrix}\geq 0$

Vậy $r^{3}-3r \leq 2\Leftrightarrow r^{3}-3r-2 \leq 0\Leftrightarrow (r+1)^2.(r-2) \leq 0\Leftrightarrow r\leq2$ Ta có đpcm

DO là Số Phức nên không được dùng CauChy nhé